Троичная логика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Троичная логика (трёхзначная логика) — один из видов многозначной логики, использующий три истинностных значения:

1 — истина
0 — неизвестно
1 — ложь

Если не использовать значение «неизвестно», троичная логика сводится к обычной двоичной логике.

Примером представления чисел в троичной системе счисления может служить запись в этой системе целых положительных чисел:

десятичное число	0	1	2	3	4	5	10
троичное число	0	1	11	10	11	111	101

Если в десятичной системе счисления имеется 10 цифр и веса соседних разрядов различаются в 10 раз (разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен), то в троичной системе используются только три цифры и веса соседних разрядов различаются в три раза (разряд единиц, разряд троек, разряд девяток, …). Цифра 1, написанная первой левее запятой, обозначает единицу; эта же цифра, написанная второй левее запятой, обозначает тройку и т. д. Число 2 изображается цифрой 1 в разряде троек и цифрой 1 (минус единица) в разряде единиц.

[править] Свойства троичной логики

[править] Логические операции

[править] Логическое умножение

В роли связки и употребляется знак конъюнкции (совместности) ∧ , который, подобно знаку умножения в числовой алгебре, обычно умалчивают (опускают) — вместо x ∧ y пишут xy. Нередко конъюнкцию называют логическим умножением, хотя как раз умножения в ней нет — в отличие от умножения x * x $\equiv x^2$ она идемпотентна: x ∧ x $\equiv$ x. Впрочем, следуя Булю, можно рассматривать ее как умножение чисел, допускающих только два значения: 1 — «дано», 0 — «исключено».

Вычисляется min(x, y); x ∧ y:

1-й сомножитель	1	0	1	0	1	1	1	1
2-й сомножитель	0	1	0	1	1	1	1	1
Произведение	0	0	0	0	1	1	1	1

[править] Логическое сложение

Знак ∨ символизирует дизъюнкцию — взаимосвязь, двойственную конъюнкции, в русском языке представленную союзом или. Двойственность понимается в том смысле, что произвольное выражение булевой алгебры, если в нем заменить конъюнкции дизъюнкциями, а дизъюнкции конъюнкциями, будет представлять ту же взаимосвязь при условии, что значение 1 истолковывается как 0, а значение 0 — как 1. Так, xy = 1 означает совмещение двух: x = 1 и y = 1, а x ∨ y = 0 соответственно x = 0 и y = 0, то есть конъюнкция отображает совместность единиц, а дизъюнкция — совместность нулей. С другой стороны, при x ∨y =1 термины x, y несоисключимы, не могут вместе принять значение 0, а при xy = 0 они несовместимы, исключена совместность 1.

Вычисляется max(x, y); x ∨ y:

1-е слагаемое	1	0	1	0	1	1	1	1
2-е слагаемое	0	1	0	1	1	1	1	1
Сумма	1	1	1	1	0	0	1	1
Перенос	0	0	0	0	0	0	1	1

[править] Логическое отрицание

В булевой алгебре вместо не-x пишут ¬x, либо надчеркнутое $\bar x$ , либо x' Применительно к несоставному, не детализируемому в рамках проводимого рассмотрения, термину эти символы тождественны друг другу, синонимы. Однако в общем случае, когда буква обозначает произвольное булево выражение, их следует различать либо вводить какие-то иные знаки для представления возникающего многообразия взаимосвязей. Условимся, что постфикс ' обозначает инверсию выражения, префикс ¬ — дополнение в универсуме терминов-критериев, а надчеркивание употреблять не будем.

Применительно к двучленной конъюнкции $x y$ это значит:

$\begin{matrix} (xy)' \equiv x'y' \\ \lnot(xy) \equiv x' \wedge y' \end{matrix}$

Вычисляется x':

инвертируемое	0	1	1
инверсия	0	1	1

Заметим, что дополнение булева выражения двойственно его инверсии: в приведенном примере дополнительное выражение x' ∨ y' отличается от инверсного x' ∧ y' тем, что в нем заменен двойственным (перевернут, «инвертирован») знак ∧. Взаимосвязь операций инверсии, дополнения и получения двойственного («дуалирования») $δ$ ( $διπλ o η$ — двойственное) булева выражения e представима тождествами:

$e' \equiv \delta (\lnot e) \equiv \lnot (\delta e),\,\, \lnot e \equiv \delta (e') \equiv (\delta e)',\,\, \delta e \equiv \lnot (e') \equiv (\lnot e)'$

Странно, что это фундаментальное соотношение выявлено не логиками и не математиками, а психологом Жаном Пиаже. Впрочем, не странно, ибо логики и математики приучены к булевой алгебре с единственной одноместной операцией отрицания-дополнения, которую иногда называют также инверсией, либо полагают, что инверсия — операция не булева, а теоретико-множественная, множественное дополнение.

[править] Импликация

Импликация - (от лат. implicatio - сплетение, от implico — тесно связываю) -- логическая связка, соответствующая грамматической конструкции «если ..., то ...», с помощью которой из двух простых высказываний образуется сложное высказывание. В импликативном высказывании различают антецедент (основание) — высказывание, идущее после слова «если», и консеквент (следствие) - высказывание, идущее за словом «то». Импликативное высказывание представляет в языке логики условное высказывание обычного языка. Последнее играет особую роль как в повседневных, так и в научных рассуждениях, основной его функцией является обоснование одного путем ссылки на нечто другое. В современной логике имеется большое число импликаций, различающихся своими формальными свойствами:

материальная
Лукасевича
Гейтинга
Троичная функция следования (Брусенцова)

[править] Импликация материальная

Материальная импликация — одна из основных связок классической логики. Определяется она т.о.: Импликация ложна только в случае истинности основание(антецедента) и ложности следствия(консеквента) и истинна во всех остальных случаях. Условное высказывание «Если x, то y» предполагает некоторую реальную связь между тем, о чем говорится в x и y; выражение «x материально имплицирует y» такой связи не предполагает.

Вычисляется импликация материальная max(−x, y); $x \rightarrow y$ ; x' ∨ y :

1-е высказывание (x)	0	0	1	1	1	1	1	1
2-е высказывание (y)	1	1	0	1	1	0	1	1
Импликация	1	0	0	1	1	1	1	1

или

   x
   ^
   |
 1 | 1  0  1
 0 | 0  0  1
 1 | 1  1  1
---+----------> y
   | 1  0  1

[править] Импликация Лукасевича

Это часть модальной логики.

   x
   ^
   |
 1 | 1  0  1
 0 | 0  1  1
 1 | 1  1  1
---+----------> y
   | 1  0  1

[править] Импликация Гейтинга

Это часть многозначной логики. Логика Гейтинга охватывала лишь часть классической формальной логики.

Импликацию (если р, то q) можно утверждать, только если имеется такое построение, которое, будучи объединено с построением р, автоматически дает построение q. Например, из истинности высказывания p следует: неверно, что p ложно. Но из утверждения "неверно, что p ложно" еще не следует, что p истинно, так как высказывание p может оказаться неконструктивным.

   x
   ^
   |
 1 | 1  0  1
 0 | 1  1  1
 1 | 1  1  1
---+----------> y
   | 1  0  1

[править] Троичная функция следования (Брусенцова)

Вычисляется $x \rightarrow y$ :

1-е высказывание (x)	0	0	1	1	1	1	1	1
2-е высказывание (y)	1	1	0	1	1	0	1	1
Импликация	0	0	0	1	1	0	0	1

или

   x
   ^
   |
 1 |  1  0  1
 0 |  0  0  0
 1 |  1  0  0
---+----------> y
   |  1  0  1

[править] Применение троичной логики

Джордж Буль изобрел «математику мысли», устранив из числовой математики все значения, кроме 0 и 1, интерпретируемых как «нет» и «есть», либо «исключено» и «дано», либо «ложь» и «истина». Такую систему называют двузначной, что не представляется верным, ибо двузначность — синоним двусмысленности. Корректней назвать ее двухзначной системой, двухзначной логикой. Но это только поверхностное, «косметическое» уточнение, а по существу проблема двухзначности несравненно глубже, фундаментальней. Противопоставленный стоиками аристотелеву Органону хрисиппов принцип двухзначности в его «классической» трактовке (либо истина, либо ложь и ничего третьего) радикально отделил формальную логику, и традиционную, и математическую, от диалектики.

Впрочем, основоположник математической логики Буль, не в пример современным представителям этой науки, сосредоточившим все внимание на проблеме двухзначного (дихотомического) вывода, считал важнейшей ее задачей решение логических уравнений, чем и оправдывалось название «математическая». Решение этой обратной задачи, предпринятое самим Булем, показало, что удовлетворяющим логическому уравнению значением термина может быть не только 1 либо 0, но и нечто третье — «неопределенность», которую Буль обозначал буквой u $(u \equiv 0/0)$ . В дальнейшем выяснилось, что в зависимости от условий, определяемых значениями прочих входящих в уравнение терминов, для искомого термина x имеется четыре альтернативы:

1) x = 0,
2) x = 1,
3) x свободно, не фиксировано (у Аристотеля — $\sigma\upsilon\mu\beta\varepsilon\beta\eta\kappa o \zeta$ — «привходяще»),
4) решение не существует.

Например, решение относительно термина y уравнения xy = 0, как нетрудно проверить, таково:

при x = 0 значение y привходяще,
при x = 1 y = 0.

Решение уравнения x ∨ y = 0, то есть x’y' = 1,

при x = 1 не существует,
при x = 0 y = 0.

[править] История троичной логики

По Аристотелю конъюнкция не-утверждения и не-антиутверждения («не быть благом и не быть не благом») составляет третье, среднее, промежуточное между утверждением и антиутверждением — $\sigma\upsilon\mu\beta\varepsilon\beta\eta\kappa o \zeta$ (привходящее). Хрисипп же «упростил» логику, изъяв это третье, а вместе с ним адекватность реальности и здравому смыслу. У него дискретная дихотомия — «да»/«нет», поэтому? $\alpha\pi o\varphi\alpha\sigma\iota\zeta \equiv \alpha\nu\tau\iota\varphi\alpha\sigma\iota\zeta$ , «не быть благом» $\equiv$ «быть не благом».

Это мир «рыцарей» и «лжецов» из «занимательной логики»: «рыцарь» никогда не лжет, «лжец» лжет всегда; если некто не «рыцарь», то он «лжец», а если не «лжец», то «рыцарь»??? все четко и просто, но не так, как в действительности. Поразительна живучесть хрисипповой «простоты». На протяжении двух с лишним тысячелетий имели место лишь единичные попытки преодолеть роковую ограниченность (Раймонд Лулий, Уильям Оккам, Ян Коменский, Лейбниц, Гегель, Льюис Кэррол).

Двадцатый век ознаменован прогрессирующим нарастанием протеста против двухзначности: отвержение интуиционистской математикой закона исключенного третьего, попытки Льюиса, а затем Аккермана преодолеть «парадоксы» материальной импликации, изобретение Лукасевичем трехзначной логики, предположение Рейхенбаха о трехзначности логики микромира (квантовой механики), общее усиление активности в области многозначных логик, наконец, нечёткие множества Заде, справедливо квалифицируемые «как вызов, брошенный европейской культуре с ее дихотомическим видением мира в жестко разграничиваемой системе понятий». Однако все это пока как бы некий «модерн», не достигающий преследуемых целей, да и сами цели еще далеко не осознаны. Хрисиппова же «классика» обрела второе дыхание в исчислениях математической логики, в двоичной цифровой технике, и с позиций ее столь же непросто постичь недвухзначное, как, скажем, обитателям двухмерного мира представить себе мир трехмерный.

«логический квадрат»

Показателен пример Яна Лукасевича, который, связывая создание им трехзначной логики «с борьбой за освобождение человеческого духа», затем (надо полагать, в продолжение этой борьбы) в своей неординарной книге «Аристотелева силлогистика с точки зрения современной формальной логики» устанавливает «ошибочность» положений трехзначной логики Аристотеля, формально «верифицируя» их в двухзначном исчислении высказываний. Впрочем, его попытки формализации модальностей средствами трех- и четырехзначного исчислений также не достигли цели. Он обратился к многозначности, осознав, что «модальная логика не может быть двухзначной», однако не сумел преодолеть традиции и выявить трехзначность аристотелевой силлогистики, чего ранее уже достиг поборник «эмансипации логики от влияния Аристотеля» Н.А.Васильев, в 1911 году преобразовавший логический квадрат A — I — O — E в треугольник противоположностей A — IO — E.

Этот треугольник и есть «три сосны», в которых заблудились логики 20-го века в попытках изобрести то, что в древности естественно и неопровержимо установил Аристотель. Изобретать вынуждала неадекватность двухзначной логики, в частности, невыразимость в ней сущности естественноязыкового (содержательного) следования. Первой, получившей значительный и все еще не угасший резонанс, была попытка Льюиса (1918 г.) устранить «парадоксы» материальной импликации, модифицировав аксиоматику классического исчисления высказываний. Но «строгая импликация» Льюиса оказалась тоже парадоксальной, да и неясно, что она такое, поскольку при помощи связок двухзначного исчисления определить конструктивно ее нельзя, а введенная в него «модальная функция самосовместимости-возможности» в свою очередь лишена определения.

Импликация Лукасевича (1920 г.) определена трехзначной таблицей истинности, но как заметил полвека спустя Слупецкий, смысл ее «довольно-таки неуловим». Сам Лукасевич впоследствии, признав трехзначное исчисление недостаточным, разработал четырехзначную модальную логику, однако именно его трехзначная импликация инициировала необыкновенную активность в области трехзначных логик и алгебр, в результате которой теперь имеется множество импликаций (интуиционистская Гейтинга, сильная и слабая Клини, внешняя и внутренняя Бочвара, Гёделя, Собочинского…), смысл которых столь же неуловим и, увы, не тождествен содержательному следованию. Это удивительное блуждание в трех соснах обусловлено тем, что ищут, не зная что. Операции определяются не путем воплощения подразумеваемого смысла, а либо формальным обобщением соответствующих двухзначных таблиц истинности, в частности, таблицы материальной импликации, истолкование которой в свою очередь проблематично, либо модификацией системы аксиом, например, изъятием закона исключенного третьего.

[править] См. также

[править] Ссылки

[править] Литература

Брусенцов Н. П. «Блуждание в трех соснах (Приключения диалектики в информатике)» Москва, SvR — Аргус, 2000. — 16 с. и в сборнике: «Программные системы и инструменты»,Труды ф-та ВМиК МГУ, № 1, Москва: МАКС Пресс, 2000, с.13-23
Васильев Н. И. Воображаемая логика. Избранные труды. — М.: «Наука», 1989.
Карпенко А. С. Многозначные логики // Логика и компьютер. Вып.4. — М.: «Наука», 1997.
Кэррол Льюис. Символическая логика // Льюис Кэррол. История с узелками. — М.: «Мир», 1973.
Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. — М.: ИЛ, 1959.
Пиаже Ж. Логика и психология // Ж.Пиаже. Избранные психологические труды. — М.: «Просвещение», 1969.
Порецкий П. С. О способах решения логических равенств и об обратном способе математической логики. — Казань, 1884.
Слинин Я. А. Современная модальная логика. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1976.
Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. — М.: «Наука», 1967.
Философский словарь / Под ред. И.Т. Фролова. - 4-е изд.-М.: Политиздат, 1981. - 445 с.

Это незавершённая статья по философии.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Это незавершённая статья по математике.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Категории: Незавершённые статьи по философии | Незавершённые статьи по математике | Логика