Tálesova veta

Z Wikipédie

Tálesova veta: keď AC je priemer, potom uhol v bode B bude pravý.

V geometrii Tálesova veta (pomenovaná podľa gréckeho filozofa Tálesa z Milétu) hovorí, že ak A, B, C sú body na kružnici, potom uhol ABC je pravý uhol.

Obsah

1 Dôkaz
2 Zovšeobecnenie
3 Aplikácie
4 História

[úprava] Dôkaz

Obrázok ku dôkazu.

Pri dôkaze použijeme nasledovné tvrdenia:

súčet vnútorných uhlov v trojuholníku sa rovná 180°,
základňové uhly rovnoramenného trojuholníku sú rovnaké.

Nech $O$ je stred kružnice. Keďže platí $O A = O B = O C$ , $O A B$ a $O B C$ sú rovnoramenné trojuholníky a na základe rovnosti základňových uhlov rovnoramenných trojuholníkov, $O B C = O C B$ a $B A O = A B O$ . Označme uhly $γ = B A O$ a $δ = O B C$ . Tri vnútorné uhly trojuholníka $A B C$ sú potom $γ$ , $γ + δ$ a $δ$ . Súčet vnútorných uhlov každého trojuholníka je 180°:

$\gamma + (\gamma +\delta) + \delta = 180^\circ$

z toho vyplýva po úprave

$2\gamma + 2\delta = 180^\circ\quad \Rightarrow\quad \gamma + \delta = 90^\circ$ ,

čo bolo treba dokázať.

[úprava] Zovšeobecnenie

Tálesova veta je špeciálnym prípadom nasledovnej vety:

Nech sú dané tri body

A

B

C

na kružnici so stredom

O

, potom uhol

A O C

je dvakrát taký veľký ako uhol

A B C

Dôkaz tejto vety je podobný ako dôkaz Tálesovej vety uvedený vyššie.

[úprava] Aplikácie

Konštrukcia dotyčnice využitím Tálesovej vety.

Tálesovu vetu môžeme použiť na konštrukciu dotyčnice danej kružnice, ktorá pretína daný bod (pozri obrázok). Nech je daná kružnica k so stredom O a vonkajší bod P mimo kružnice, chceme skonštruovať (na obrázku červenú) dotyčnicu (dotyčnice) kružnice k, ktorá pretína bod P. Označme bod, v ktorom sa (zatiaľ neznáma) dotyčnica t dotýka kružnice ako T. Zo symetrie je zrejmé, že polomer OT je kolmý na túto dotyčnicu. Nájdime stred H na úsečke spájajúcej body O a P a obkreslime kružnicu so stredom H cez tieto body. Podľa Tálesovej vety je hľadaný bod T priesečník tejto kružnice s danou kružnicou k, pretože to je bod na kružnici k, ktorý tvorí s bodmi O a P pravouhlý trojuholník OTP.

Pretože spomínané dve kružnice sa pretnú v dvoch bodoch, týmto spôsobom môžeme zostrojiť obe dotyčnice.

[úprava] História

Táles nebol prvý, ktorý formuloval túto vetu, keďže Egypťania aj Babylončania ju poznali, pravdepodobne empiricky, pretože sa nenašli žiadne dokumenty s jej dôkazom. Veta je pomenovaná po Tálesovi, ktorému sa pripisuje jej prvý dôkaz. Táles použil svoje vlastné výsledky o základňových uhloch rovnoramenného trojuholníka a súčte vnútorných uhloch trojuholníku.

Zdroj: "http://sk.wikipedia.org../../../t/%C3%A1/l/T%C3%A1lesova_veta.html"

Kategórie: Geometria | Dôkazy | Matematické vety