Static Wikipedia February 2008 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu

Web Analytics
Cookie Policy Terms and Conditions Jacobimatris - Wikipedia, den fria encyklopedin

Jacobimatris

Wikipedia

Jacobimatris (också kallad Jacobian eller funktionalmatris), efter Carl Gustav Jakob Jacobi, är en matris bestående av olika partialderivator som tillhör ett system av funktioner. Tillsammans med dess determinant (jacobideterminanten) används den inom vektoranalysen. Både matrisen och dess determinant kan ibland något slarvigt benämnas jacobian.

Innehåll

[redigera] Jakobimatris

Jacobimatrisen är en matris innehållande alla första ordningens partiella derivator för en vektorvärd funktion, och är av betydelse då den representerar den bästa linjära approximationen av en differentierbar funktion i en omgivning till en given punkt. Jakobimatrisen kan därmed ses som en motsvarighet till derivata för vektorvärda funktioner.

Låt \mathbb{F}: \R^n \mapsto \R^m vara en funktion från ett Euklidiskt rum av dimension n till ett Euklidiskt rum av dimension m.En sådan funktion ges av m reella funktioner, y_1(x_1,\dots,x_n), \dots,  y_m(x_1,\dots,x_n). Om de existerar kan de partiella derivatorna av dessa funktioner ordnas i en m\times n-matris, alltså \mathbb{F} Jacobimatris J_\mathbb{F}(x_1,\ldots,x_n), enligt:

J_\mathbb{F}(x_1,\ldots,x_n)=\begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n}  \end{bmatrix}

Ett alternativt skrivsätt är \frac{\partial(y_1,\ldots,y_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}=J_\mathbf{F}(x_1,\ldots,x_n)

Matrisens i:e rad ges alltså av gradienten till yi.

Om p är en punkt i \R^n och \mathbb{F} är differentierbar i p, så ges dess derivata av J_\mathbb{F}(p). Här kommer den linjära transformation som beskrivs av J_\mathbb{F}(p) vara den bästa möjliga approximationen av \mathbb{F} i en omgivning till p, i meningen att

F(\mathbf{x}) \approx F(\mathbf{p}) + J_F(\mathbf{p})\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{p})

för x nära p.

[redigera] Exempel

Följande funktion betecknar ett variabelbyte från sfäriska koordinater till kartesiska koordinater:

\mathbb{F}: \R^+ \times [0,2\pi)\times [0,\pi]\mapsto \R^3.

Mer explicit skrivs den

\mathbb{F}(r,\theta,\varphi)=(x(r,\theta,\varphi),y(r,\theta,\varphi), z(r,\theta,\varphi))=(r \cos\varphi \sin\theta, r \sin\varphi \sin\theta, r \cos\theta).

Jacobimatrisen för detta variabelbyte är

J_\mathbb{F}(r,\varphi,\theta) =\begin{bmatrix}    \cos\varphi \sin\theta & -r \sin\varphi \sin\theta & r \cos\varphi \cos\theta \\        \sin\varphi \sin\theta &  r \cos\varphi \sin\theta & r \sin\varphi \cos\theta \\        \cos\theta          &  0                     & -r \sin\theta  \end{bmatrix}.


Jacobimatrisen för funktionen \mathbb{F}: \R^3\mapsto \R^4 med komponenter

y_1 = x_1 \,
y_2 = 5x_3 \,
y_3 = 4x_2^2 - 2x_3 \,
y_4 = x_3 \sin(x_1) \,

är

J_F(x_1,x_2,x_3) =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_2 & -2 \\ x_3\cos(x_1) & 0 & \sin(x_1) \end{bmatrix},

vilket visar att jacobimatrisen inte behöver vara kvadratisk.

[redigera] Jakobideterminanten

Om m = n, det vill säga \mathbb{F} är en funktion från ett n-dimensionellt rum till ett annat n-dimensionellt rum, så är Jacobimatrisen kvadratisk, och därmed är dess determinant väldefinierad. Denna kallas jacobideterminanten, och dess värde i en punkt ger viktig information om funktionen i denna omgivning. Om \mathbb{F} är kontinuerligt differentierbar är den även inverterbar i närheten av p om Jacobideterminanten är nollskild i p. Om determinanten är positiv i p bevarar \mathbb{F} orientering, och om den är negativ skiftar \mathbb{F} orientering. Vidare ger absolutvärdet av Jacobideterminanten i p den faktor med vilken \mathbb{F} skalar om area/volym/hypervolym i närheten av p. Detta används i variabelsubstitution.

[redigera] Exempel

Jakobideterminanten för funktionen \mathbb{F}: \R^3 \mapsto \R^3

med komponenterna

y_1 = 5x_2 \,
y_2 = 4x_1^2 - 2 \sin (x_2x_3) \,
y_3 = x_2 x_3 \,

är

\begin{vmatrix} 0 & 5 & 0 \\ 8x_1 & -2x_3\cos(x_2 x_3) & -2x_2\cos(x_2 x_3) \\ 0 & x_3 & x_2 \end{vmatrix}=-8x_1\cdot\begin{vmatrix} 5 & 0\\ x_3&x_2\end{vmatrix}=-40x_1 x_2

Vi kan av detta dra slutsatsen att \mathbb{F} kastar om orienteringen i närheten av alla punkter där x1 och x2 har samma tecken, och att funktionen är lokalt inverterbar överallt utom i x1 = 0 eller x2 = 0. Ett litet objekt som befinner sig i närheten av (1,1,1) sommappas om av \mathbb{F} kommer öka sin volym cirka 40 gånger.

[redigera] Användningar

Jakobideterminanten används när man gör variabelbyten när man integrerar en funktion för att kompensera för basbytet. Den kommer då dyka upp som en multiplikativ term under integraltecknet. Det är vanligtvis nödvändigt att variabelbytet är injektivt, vilket gör att jakobideterminanten är väldefinierad.

Den här artikeln är hämtad från http://sv.wikipedia.org../../../j/a/c/Jacobimatris.html
Static Wikipedia 2008 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -

Static Wikipedia 2007 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -

Static Wikipedia 2006 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu