Derivata

Wikipedia

Derivatan av en funktion anger dess förändringshastighet. Derivata är tillsammans med integral ett grundläggande begrepp i matematisk analys, och de kopplas samman via Analysens fundamentalsats. Det enklaste fallet är för en reellvärd funktion av en enda reell oberoende variabel, och derivatan betecknar då hur snabbt värdet av funktionen växer när den oberoende variabeln växer. Eftersom förändringshastigheten hos en funktion inte måste vara konstant med avseende på den oberoende variabeln, är även derivatan en funktion av denna. Detta är även den typ av derivata man vanligen stöter på inom undervisning i matematik på gymnasie- och inledande högskolenivå, och även den enda typ som denna artikel behandlar.

För en sådan funktion f betecknas derivatan vanligen f ′, varför derivatan i punkten x följaktligen betecknas f ′(x) (uttalas "f-prim av x".). Derivatan kan också betecknas df/dx (uttalas "d-f, d-x").

Innehåll

1 Intuitiva exempel
2 Definition
3 Geometrisk tolkning
4 Högre ordningars derivator
5 Notation
6 Deriveringsregler
7 Tillämpningar
- 7.1 Kritiska punkter
- 7.2 Fysik
8 De elementära funktionernas derivator
9 Se även

[redigera] Intuitiva exempel

Exempel 1:

Antag att s(t) anger en bils position s som funktion av tiden t. Då kommer derivatan s′(t) att ange bilens hastighet som funktion av tiden; derivatans derivata, den så kallade andraderivatan, s′′(t) (eller d²s/dt²) kommer vidare att ange bilens acceleration.

Exempel 2:

Låt f vara en konstant funktion definierad av f(x) = c. Då blir derivatan f ′(x) = 0 för alla x, eftersom funktionens värde inte ändras alls när x ändras.

[redigera] Definition

Derivatan av funktionen f i punkten x₀ definieras som gränsvärdet

$f'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$ ,

vilket stämmer med den intuitiva tolkningen av derivatan – förändring i funktionens värde vid förändring av variabelns värde. Om gränsvärdet existerar i en viss punkt sägs funktionen vara deriverbar i den punkten och derivatan har det framräknade värdet. Om funktionen är deriverbar i varje punkt i definitionsmängden sägs funktionen vara deriverbar.

Det finns även en omskrivning av gränsvärdet, vilken kan vara användbar vid bevisföring:

$f'(x_0)= \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}$

[redigera] Geometrisk tolkning

Om en funktion f åskådliggörs av en graf y = f(x) så anger derivatan av f grafens lutning (förändring i y per förändring i x) för varje värde x. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten (x, f(x)). Tangentens lutning kan approximeras med sekantens lutning i ett litet område kring punkten x. Om sekanten går genom punkterna (x, f(x)) och (x+h, f(x+h)), där h är ett litet tal, blir dess lutning (och funktionens medellutning) i detta intervall lika med

$k = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ .

Approximationen blir bättre ju mindre h väljs; om avståndet h mellan punkternas x-värden går mot noll, så kommer sekanten att övergå till tangenten vid x och lutningen kommer att gå mot derivatan f ′(x); härav derivatans definition.

Det finns ett teorem som säger att om en funktion är deriverbar i en punkt, så är den även kontinuerlig i denna punkt. Det motsatta förhållandet behöver inte gälla, vilket visas av bl.a. Weierstrass exempel.

[redigera] Högre ordningars derivator

Om man tar derivatan av en derivata får man en andra ordningens derivata' även kallad andraderivata. Tar man derivatan av denna får man tredjederivatan och så vidare. Om risk för förväxling föreligger kallas derivatan av ursprungsfunktionen förstaderivata.

[redigera] Notation

Som tidigare nämnts finns ett flertal olika notationer för derivata. Med undantag av Newtons notation innebär dessa vanligen ingen skillnad i natur. Olika områden inom matematiken har dock vanligen en notation som vanligen används.

[redigera] Lagranges notation

Den enklaste varianten som används är Joseph Louis Lagranges, nämligen primtecknet:

$f'(x)\,$ för förstaderivata

$f''(x)\,$ för andraderivata

$f'''(x)\,$ för tredjederivata

$f^{(n)}(x)\,$ för högre ordningens derivata, eller derivator av okänd ordning (som i exempelvis Taylorutvecklingar).

[redigera] Leibniz notation

Den andra typen av notation har fått sitt namn efter Gottfried Leibniz. Även om den kan tyckas något otymplig är den lämplig att använda bland annat när man jobbar med kedjeregeln och vid lösning av differentialekvationer, på grund av dess tydliggörande av differentialerna.

För derivatan av en funktion $y=f(x)\$ skriver man

$\frac{dy} {dx}$ (eller $\frac d{dx}y$ ) för förstaderivatan och $\frac{d^2y}{dx^2}$ (eller $\frac{d^2}{dx^2}y$ ) för andraderivatan.

Om sammanhanget gör det lämpligare att använda $f(x)\$ i stället för $y\$ skriver man

$\frac {d(f(x))}{dx}$ (eller $\frac{d}{dx}(f(x))$ ) i stället för $f'(x)\$ , $f\$ :s derivata.

För $f$ :s derivata i en punkt $a$ finns två notationer:

$\frac{d\left(f(x)\right)}{dx}\left.{\!\!\frac{}{}}\right|_{x=a} = \left(\frac{d\left(f(x)\right)}{dx}\right)(a).$

Ibland skrivs detta dock något slarvigt som

$\frac{d f(a)}{d x}$

Högre ordningens derivator skrivs som

$\frac{d^ny}{dx^n}$ eller $\frac{d^n f(x)}{d x^n}$ i stället för $f^{(n)}(x)\$ .

[redigera] Newtons notation

Isaac Newtons notation använder en punkt över funktionen för att beteckna derivata. Den används idag främst inom mekanik för att beteckna derivator med avseende på tiden, för att särskilja dessa från derivator med avseende på rummet. Den används vanligen endast för första och andra ordningens derivator:

$\dot{x} = x'(t)$ (uttalas "x-prick")

$\ddot{x} = x''(t)$ (uttalas "x-prick-prick")

[redigera] Eulers notation

Leonhard Euler introducerade en notation baserad på en differentieringsoperator:

D f (x) = f'(x)

D 2 f (x) = f''(x)

D n f (x) = f (n) (x)

[redigera] Deriveringsregler

Vid derivering är det oftast onödvändigt komplicerat att utgå från derivatans definition; istället har man utifrån definitionen härlett derivatorna till de elementära funktionerna och uttryck sammansatta av sådana. Dessa kan man utgå från vid problemlösning.

Linearitet:

$(kf)' = kf'\$ för alla konstanter $k\$

$(f + g)' = f' + g'\$

Produktregeln, även kallad Leibniz formel efter Gottfried Wilhelm von Leibniz:

$(fg)'= f'g + fg'\$

Av dessa två regler följer att för tre faktorer blir produktregeln (och på motsvarande sätt för fler faktorer)

$(fgh)'= f'gh + fg'h + fgh'\$

Kvotregeln:

$\left( \frac{f}{g} \right)' = {{gf' - fg'}\over{g^2}}$

Derivata av invers (om sådan existerar och $\frac{1}{f'}$ är väldefinierad):

$\left(f^{-1} \right)'(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

Kedjeregeln:

$(f(g(x)))'= f'(g(x)) g'(x)\$

eller skriven med Leibniz notation:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$

[redigera] Tillämpningar

Derivator utnyttjas allmänt i flera områden inom matematik och fysik, men även andra vetenskaper utnyttjar dem mer eller mindre flitigt.

[redigera] Kritiska punkter

De punkter i vilken en funktion har en derivata som är odefinierad eller lika med noll kallas kritiska punkter. De punkter där derivatan är definierad, kontinuerlig och lika med noll kallas stationära punkter. Om andraderivatan är positiv i en stationär punkt så är den punkten ett lokalt minimum till funktionen. Är andraderivatan istället negativ är det ett lokalt maximum. Är andraderivatan noll kan det vara ett lokalt maximum, lokalt minimum, eller ingetdera (som fallet är för exempelvis $f (x) = x 3$ i $x = 0$ ). Eftersom kritiska punkter och punkter på randen är de enda punkter där lokala (och därmed även globala) maxima och minima kan inträffa, är det ofta ett bra sätt att finna dessa att börja med att ta fram derivatan och söka efter stationära punkter.

[redigera] Fysik

Inom fysiken är derivator legio. Speciellt vanligt är derivator med hänseende på tiden, men även derivator med avseende på rumsvariabler förekommer. Inom klassisk mekanik ingår derivator av ett föremåls position nästan alltid i de problem som behandlas, vilket lett till att de fått egna namn, hastighet (förstaderivatan med avseende på tiden av positionen) och acceleration (andraderivatan av densamma). (Farten är absolutbeloppet av hastigheten).

[redigera] De elementära funktionernas derivator

Derivator av exponential- och potensfunktioner

Funktion	Derivata	Grafer för funktion och derivata
$e^{kx}\,$	$ke^{kx}\,$
$a^x\,$	$a^x \ln(a)\,$
$\ln(x) \$	$\frac{1}{x}\,$
$x^a\,$	$ax^{a-1}\,$

De trigonometriska och hyperboliska funktionerna påminner på flera sätt starkt om varandra, vilket även avspeglar sig i deras derivator:

De trigonometriska funktionerna		De hyperboliska funktionerna
Funktion	Derivata	Funktion	Derivata
$\sin(x)\,$	$\cos(x)\,$	$\sinh(x)\,$	$\cosh(x)\,$
$\cos(x)\,$	$-\sin(x)\,$	$\cosh(x)\,$	$\sinh(x)\,$
$\tan(x)\,$	$\sec^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}=\tan^2(x)+1$	$\tanh(x)\,$	$\mbox{sech}^2(x)\,$
$\cot(x)\,$	$-\csc^2(x)=-\frac{1}{\sin^2(x)}=-1-\cot^2(x)$	$\mbox{coth}(x)\,$	$-\mbox{csch}^2(x)\,$
$\sec(x)\,$	$\sec(x)\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}$	$\mbox{sech}(x)\,$	$-\mbox{sech}(x)\tanh(x)\,$
$\csc(x)\,$	$-\csc(x)\cot(x)=-\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}$	$\mbox{csch}(x)\,$	$-\mbox{csch}(x)\coth(x)\,$
$\arcsin(x)\,$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\mbox{arcsinh}(x)\,$	$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
$\arccos(x)\,$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\mbox{arccosh}(x)\,$	$\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
$\arctan(x)\,$	$\frac{1}{1+x^2}$	$\mbox{arctanh}(x)\,$	$\frac{1}{1-x^2}$
$\arccot(x)\,$	$-\frac{1}{1+x^2}$	$\mbox{arccoth}(x)\,$	$-\frac{1}{1-x^2}$
$\arcsec(x)\,$	$\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$	$\mbox{arcsech}(x)\,$	$\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$
$\arccsc(x)\,$	$-\frac{1}{\|x\|\sqrt{x^2-1}}$	$\mbox{arccsch}(x)\,$	$-\frac{1}{\|x\|\sqrt{x^2+1}}$