Підмножина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Якщо X та Y - множини та будь-який елемент із X є також елементом із Y, то говорять, що:

• X є підмножиною (частиною) Y, позначення — X ⊆ Y;
• Y - надмножина (охоплююча множина) X, позначення — Y ⊇ X.

Кожна множина Y є підмножиною себе самої. Підмножина Y, яка не співпадає з Y називається точною підмножиною (або правильною чи власною частиною множини) Y. Якщо X - точна підмножина Y, то цей факт записується як X ⊂ Y. Відношення "бути підмножиною" має назву включення.

[ред.] Варіанти позначень

Існують дві системи позначень відношень включення Старіша система використовує символ "⊂" для позначення будь-якої підмножини, і символ "⊊" для позначення точної підмножини. Нова система використовує "⊆" для позначення будь-якої підмножини, і "⊂" для позначення точної підмножини.

[ред.] Приклади

• Множина {1, 2} є точною підмножиною {1, 2, 3}.
• Множина натуральних чисел є точною підмножиною множини раціональних чисел.
• Будь-яка множина є своєю підмножиною, але не точною.
• Порожня множина ∅ є також точною підмножиною будь-якої множини.

[ред.] Властивості

ТВЕРДЖЕННЯ 1: Порожня множина є підмножиною всякої множини.

Доведення: Для довільної множини A потрібно довести, що ∅ є підмножиною A. Це рівнозначно тому, щоби показати, що всі елементиT ∅ є також елементами A. Але в ∅ не існує жодного елемента.

Пояснимо: завдяки тому, що в ∅ немає елементів, "вони" не можуть бути нічиїми елементами. Тому для доведення зворотнього, що ∅ не є підмножиною A, нам потрібно було б знайти такий елемент ∅, який не є одночасно елементом A. Таких елементів не існує (їх не існує взагалі), тому твердження 1 справедливе.

ТВЕРДЖЕННЯ 2: Якщо A, B та C є множини, тоді справедливі наступні властивості відношення включення:

рефлексивність:

• A ⊆ A

антисиметричність:

• A ⊆ B та B ⊆ A тоді й тільки тоді, коли A = B

транзитивність:

• Якщо A ⊆ B та B ⊆ C то A ⊆ C

Це твердження говорить про те, що множина X є алгебраїчною структурою, або решіткою, і якщо вона дистрибутивна (що показано в твердженні 1) та для кожного елементу існує його доповнення, то така структура має назву булевої алгебри.

ТВЕРДЖЕННЯ 3: Якщо A, B та C - підмножини S, то виконується наступне:

існування верхньої межі та нижньої межі:

• Ø ⊆ A ⊆ S

існування зв'язків:

• A ⊆ A ∪B
• Якщо A ⊆ C та B ⊆ C то A ∪B ⊆ C

існування перетину:

• A ∩B ⊆ A
• Якщо C ⊆ A та C ⊆ B то C ⊆ A ∩B

ТВЕРДЖЕННЯ 4: Для будь-яких множин A та B, наступні твердження еквівалентні:

• A ⊆ B
• A ∩B  =  A
• A ∪B  =  B
• A − B  =  Ø
• B^C ⊆ A^C