部分集合

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部分集合 (ぶぶんしゅうごう) とは、ある大きな集合に対して、その一部分をなす集合である。数学的には、集合 P, Q が存在して、

x ∈ P ⇒ x ∈ Q

なる関係が常に成り立つ時、集合 P を集合 Q の部分集合（または「Q は P を部分集合として含む」、「Q は P を包む」）と呼び、P ⊆ Q（または P ⊂ Q）と表す。

P ⊆ Q かつ P ≠ Q なるときには、集合 P を集合 Q の真部分集合と呼び、P ⊂ Q（上の P ⊂ Q の流儀では）と表す。部分集合は等しい集合同士でも関係が成り立つため、特に等しい集合を除いて議論を行う場合、真部分集合を用いる。

目次 1 例 2 定理 3 注意 4 関連項目

[編集] 例

P = {4,10}

Q = {1,4,7,10,13}

このとき、P ⊆ Q である。なおかつ P ≠ Q であるので P ⊂ Q ということもできる。

[編集] 定理

以下、P,Q,Rを集合、Sを全体集合とする。

• 空集合Φはすべての集合の部分集合である。
• P⊆P
• P⊆QかつQ⊆PならばP=Qであり、また逆も真である。
• P⊆QかつQ⊆RならばP⊆Rである。
• P⊆S
• P⊆P∪Q
• P⊆RかつQ⊆RならばP∪Q⊆R
• P∩Q⊆P
• R⊆PかつR⊆QならばR⊆P∩Q
• 以下は同値である。
  • P⊆Q
  • P∩Q=P
  • P∪Q=Q
  • P−Q=Φ
  • Qの補集合⊆Pの補集合

[編集] 注意

Wikipedia では部分集合を P ⊆ Q とし、真部分集合であることを明示するときに P ⊂ Q を用いる（ご意見はノートへ）。

[編集] 関連項目

• 集合代数