Тензор деформації

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Те́нзор деформа́ції — це математичний об'єкт, який характеризує зміщення кожної точки тіла при деформації.

Тензор деформації визначається, як

$\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i} {\partial x_j } + \frac{\partial u_j} {\partial x_i } \right)$ ,

де $\mathbf{u}$ — вектор, який описує зміщення точки тіла.

Тензор деформації симетричний, тобто $\varepsilon_{ij} = \varepsilon_{ji}$ .

За допомогою тензора деформації описують малі пружні деформації тіла. При великих деформаціях, коли починає проявлятися незворотна пластичність або тіло рветься, застосування тензора деформації обмежене.

Діагональні елементи тензора деформації описують лінійні деформації розтягу чи стиску, недіагональні — деформацію зсуву.

[ред.] В сферичній системі координат

$\varepsilon_{rr} = \frac{\partial u_r}{\partial r}$

$\varepsilon_{\theta\theta} = \frac{1}{r}\frac{\partial u_\theta}{\partial \theta} + \frac{u_r}{r}$

$\varepsilon_{\varphi\varphi} = \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial u_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{u_\theta}{r} \text{ctg } \theta + \frac{u_r}{r}$

$2\varepsilon_{\theta\phi} = \frac{1}{r} \left( \frac{\partial u_\varphi}{\partial \theta} - u_\varphi \text{ctg } \theta \right) + \frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial u_\theta}{\partial \varphi}$

$2 \varepsilon_{r\theta} = \frac{\partial u_\theta}{\partial r} - \frac{u_\theta}{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial u_r}{\partial \theta }$

$2 \varepsilon_{\varphi r} = \frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial u_r}{\partial \varphi} + \frac{\partial u_\varphi}{\partial r} - \frac{u_\varphi}{r}$ .