Tenseur des déformations

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Sommaire

1 Champ de déplacement
2 Définition de l'opérateur des déformations
3 Variation de volume relative

[modifier] Champ de déplacement

Dans le cas de petites déformations, ce tenseur est le tenseur de Green, un tenseur dérivé du champ de déplacement.

Soit A un point du solide au repos ; après déformation, il devient le point A' . On appelle déplacement du point A le vecteur

$\vec{u}(A) = \overrightarrow{AA'}$

On peut relier le tenseur des déformations au champ de déplacement :

$\varepsilon_{ij} = {1 \over 2} \left ({\part u_i \over \part x_j} + {\part u_j \over \part x_i}\right )$ (Opérateur des déformations linéarisé).

[modifier] Définition de l'opérateur des déformations

[modifier] Allongement uni-dimensionnel

Prenons le cas d'un segment [AB], parallèle à l'axe x₁, devenant le segment [A'B' ], la déformation étant également parallèle à x₁.

La déformation ε₁₁ vaut (exprimée en distances algébriques) :

$\varepsilon_{11} = \frac{\Delta l}{l_0} = \frac{\overline{A'B'}-\overline{AB}}{\overline{AB}}$

Sachant que

$\overline{AA'} = u_1(A)$ et $\overline{BB'} = u_1(B)$

la déformation vaut donc

$\varepsilon_{11} = \frac{\overline{A'A} + \overline{AB} + \overline{BB'}}{\overline{AB}} - 1$

$\varepsilon_{11} = \frac{u_1(B)-u_1(A) + \overline{AB}}{\overline{AB}} - 1$

Si l'on se place en petites déformations, on peut faire le développement limité du premier ordre de u₁ :

$u_1(B) \simeq u_1(A) + \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \cdot \overline{AB}$

et ainsi

$\varepsilon_{11} = \frac{\partial u_1}{\partial x_1}$

De manière plus générale :

$\varepsilon_{ii} = \frac{\partial u_i}{\partial x_i} = \frac{1}{2} \left ( \frac{\partial u_i}{\partial x_i} + \frac{\partial u_i}{\partial x_i} \right )$

[modifier] Cisaillement pur

Considérons maintenant du cisaillement pur. Un carré ABCD, où [AB] est parallèle à x₁ et [AD] est parallèle à x₂, se transforme en un losange AB'C'D' , symétrique selon la première bissectrice du plan.

La tangente de l'angle γ vaut :

$\tan(\gamma) = \frac{\overline{BB'}}{\overline{AB}}$ .

Pour les petites déformations, on a

$\tan(\gamma) \simeq \gamma$

ainsi que

$\overline{BB'} = u_2(B) \simeq u_2(A) + \frac{\partial u_2}{\partial x_1} \cdot \overline{AB}$

avec u₂(A) = 0. Ainsi,

$\gamma \simeq \frac{\partial u_2}{\partial x_1}$

Si l'on considère maintenant le segment [AD] :

$\gamma \simeq \frac{\partial u_1}{\partial x_2}$

et ainsi

$\gamma = \varepsilon_{12} = \frac{1}{2} \left ( \frac{\partial u_1}{\partial x_2} + \frac{\partial u_2}{\partial x_1} \right )$

L'intérêt de faire la moyenne apparaît si l'on fait tourner le losange, il faut alors définir deux angles $\gamma_B = \widehat{B'AB}$ et $\gamma_D = \widehat{D'AD}$ .

Note : dans l'article Déformation élastique, l'angle γ défini vaut le double de l'angle défini ici.

[modifier] Définition générale

L'opérateur des déformations est un opérateur visant à caractériser en un point la déformation du mileu, c'est à dire la variation de longueur d'un segment suite à la transformation suibie par le milieu.

On considère le segment AB qui se transforme en A' B'. Cet opérateur permet de quantifer |A' B'|²-|AB|².

On décrit la transformation de chaque point du milieu par une fonction (suffisamment régulière) : $\underline{\Phi}(A',t)$ telle que

$\underline{OA'}=\underline{\Phi}(A,t)$

On introduit alors le concept de déformation, pour mesurer la variation de distance entre deux points du solide suite à la transformation $\underline{\Phi}$ .

On cherche à avoir une mesure de |A' B'|²-|AB|².

Or on a

$\underline{OA'} = \underline{\Phi}(A,t)$

On peut donc écrire :

$\underline{OB'} = \underline{OA'} + \underline{\underline{F}} \cdot \underline{AB} + o(\|\underline{AB}\|)$

où

$\underline{\underline{F}} = \underline{\underline{grad}} (\underline{\Phi}) = \frac{\partial\underline{\Phi}}{\partial A}$

est le gradient de la transformation.

On obtient donc :

$\|A'B'\|^2-\|AB\|^2 = \underline{AB} \left ( \underline{\underline{F}}^T \cdot \underline{\underline{F}} - \underline{\underline{Id}} \right ) \underline{AB}$

On pose :

$\underline{\underline{E}}=\frac{1}{2}\left(\underline{\underline{F}}^T \cdot\underline{\underline{F}}-\underline{\underline{Id}}\right)$

$\underline{\underline{E}}$ est l'opérateur des déformations de Green-Lagrange

Si on introduit le vecteur déplacement

$\underline{u}(A,t)=\underline{AA'}$ on obtient :

$\underline{\underline{E}}= \frac{1}{2}\left(\frac{\partial\underline{u}}{\partial A}^T \cdot\frac{\partial\underline{u}}{\partial A} + \frac{\partial\underline{u}}{\partial A} +\frac{\partial\underline{u}}{\partial A}^T \right)$

Si l'on fait l'hypothèse des petites déformations, on obtient l'opérateur des déformations linéarisé :

$\underline{\underline{\varepsilon}}= \frac{1}{2}\left(\frac{\partial\underline{u}}{\partial A} +\frac{\partial\underline{u}}{\partial A}^T \right)$

[modifier] Variation de volume relative

La variation de volume relative ΔV/V₀ est la trace du tenseur :

$\frac{\Delta V}{V_0} = \varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33}$

En effet, si l'on considère un cube d'arrête a, après déformation on a un quasi-cube (les variations d'angle ne changent pas le volume) de dimension $a \cdot (1 + \varepsilon_{11}) \times a \cdot (1 + \varepsilon_{22}) \times a \cdot (1 + \varepsilon_{33})$ et V₀ = a³, soit

$\frac{\Delta V}{V_0} = \frac{\left ( 1 + \varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33} + \varepsilon_{11} \cdot \varepsilon_{22} + \varepsilon_{11} \cdot \varepsilon_{33}+ \varepsilon_{22} \cdot \varepsilon_{33} + \varepsilon_{11} \cdot \varepsilon_{22} \cdot \varepsilon_{33} \right ) \cdot a^3 - a^3}{a^3}$

comme on est en très faible déformation,

1 >> ε_ii >> ε_ii·ε_jj >> ε₁₁·ε₂₂·ε₃₃

d'où le résultat.

Variation de volume réelle (haut) et approchée (bas) : le dessin en vert montre le volume estimé et le dessin en orange le volume négligé

On en déduit que dans le cas du cisaillement pur, il n'y a pas de variation de volume.

De manière plus rigoureuse, la variation de volume relative ΔV/V₀ est égale à |F|-1.

En effet, soit le prisme de $Ω 0$ élémentaire engendré par $(u 10, u 20, u 30)$ . Sa transformée par $Φ$ est le prisme engendré par $(u 1, u 2, u 3)$ .

Soit dV le volume de la transformée, et dV₀ celui du prisme initial.

On a

$dV = (u_1 \wedge u_2 \cdot u_3) = (\underline{\underline{F}}(u_{10}) \wedge \underline{\underline{F}}(u_{20}) \cdot \underline{\underline{F}}(u_{30})) = |\underline{\underline{F}}| (u_{10} \wedge u_{20}\cdot u_{30}) = |\underline{\underline{F}}| dV_0$