Дійсні числа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Дійсні числа — числова система, яка містить в собі раціональні числа і, в свою чергу, міститься у комплексних числах. Дійсні числа утворюють поле відносно операцій додавання та множення, яке позначається $\mathbb{R}$ (від англ. real, нім. reel). Це означає, що дійсні числа можна додавати, віднімати, множити і ділити (окрім ділення на нуль), і для них спроваджуються всі правила арифметики (комутативність, асоціативність, дистрибутивність, і т.д.). Але на відміну від раціональних чисел, вони також замкнені відносно операції граничного переходу. Тому дійсні числа належать до підвалин математичного аналізу.

[ред.] Коротка історія та зміст

Вже давні греки відкрили існування ірраціональних чисел, наприклад, відношення довжини діагоналі квадрата до довжини його сторони, яке ми позначаємо $\sqrt{2}.$ Інтуїтивний зміст дійсних чисел полягає у тому, що вони заповнюють "дірки", що залишаються на числовій осі між раціональними числами, вони є поповнюванням раціональних чисел. Перше математичнo строге означення дійсних чисел було винайдено лише наприкінці 19 ст.

[ред.] Узагальнення

Дійсні числа складають одну із фундаментальних концепцій математичного аналізу. Хоча це ще не перетворилось на норму ні в шкільній, ні навіть в універсітетській програмі, в сучасній математиці, а насамперед, в теорії чисел, поруч з дійсними числами розглядаються також $p$ -адичні числа, які "заповнюють дірки між раціональними числами" іншим чином, більш арифметичним за походженням. У такий спосіб удається концептуально поєднати аналіз з арифметикою і відновити симметрію, яка порушується за переходом від раціональних чисел до дійсних.