مفرد عدد

وکیپیڈیا سے

تعریف: ایک مثبت صحیح عدد کو مفرد کہا جاتا ہے اگر اس عدد کے صرف دو ضربی اجزا ہوں (ایک یہ خود اور دوسرا 1)۔ مثلاً 25 سے چھوٹے مفرد اعداد یہ ہیں:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23
انگریزی میں مفرد عدد کو پرائم (prime) کہا جاتا ہے۔

عدد 1 نہ مفرد ہے نہ مرکب۔

فہرست

1 حساب کا بنیادی مسلئہ اثباتی
2 مسلئہ اثباتی
3 مسلئہ اثباتی
4 مفرد عدد کی چھاننی
5 مفرد عدد کی پہچان
6 توزیع مفرد اعداد

[ترمیم] حساب کا بنیادی مسلئہ اثباتی

فرض کرو $n > 1$ ۔ اب n کو مفرد اعداد کے جز ضربی کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ اور یہ جُزِ ضربی منفرد ہونگے، صرف ترتیب مختلف ہو سکتی ہے۔ مثال:
$\ 299376 = 2^4 \times 3^5 \times 7 \times 11$
جہاں 2, 3, 7, 11, مفرد اعداد ہیں۔ ان مفرد اعداد کے علاوہ کوئی دوسرا مفرد اعداد کا مجموعہ نہیں، جو 299376 کے ضربی جز بن سکیں، صرف ترتیب مختلف ہو سکتی ہے، مثلاً
$\ 299376 = 7 \times 3 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 2 \times 3 \times 11 \times 3 \times 2$

[ترمیم] مسلئہ اثباتی

مفرد اعداد کی تعداد لامحدود ہے۔
ثبوت:
ثبوت نفی طریقہ سے دیتے ہیں۔ فرض کرو کہ مفرد اعداد کا مجموعہ محدود ہے۔ تو اس مجموعہ کو یوں لکھ لیتے ہیں: $\{ p_1, p_2, p_3, \cdots, p_k \}$ اب اس عدد کو دیکھو: $Q = p_1 p_2 p_3 \cdots p_k + 1$ اب یا توQ مفرد ہے یا پھر اس کے مفرد جز ضربی موجود ہیں۔ اگر مفرد ہے تو مفروضے کی نفی ہو گئی۔ دوسری صورت میں دیکھو کہ اوپر دیے مفرد اعداد میں سے کوئی بھی Q کو تقسیم نہیں کرتا جو کہ بنیادی نظریہ کے خلاف ہے۔ اس لیے یہ صورت بھی مفروضے کی نفی کرتی ہے۔ پس ہم یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ یہ مفروضہ کہ "مفرد اعداد کی تعداد محدود ہے" ہی غلط تھا۔

[ترمیم] مسلئہ اثباتی

اگر صحیح عدد $n > 1$ کے کوئی جز ضربی ایسے نہیں جو $\sqrt{n}$ سے چھوٹے ہوں ( $\le \sqrt{n}$ ) ، تو عدد n مفرد ہے۔

[ترمیم] مفرد عدد کی چھاننی

مفرد اعداد ڈھونڈنے کے لیے چھاننی کا طریقہ مفید ہے۔ فرض کرو کہ ہمیں 300 سے کم اعداد میں سے مفرد عدد تلاش کرنے ہیں، تو 300 تک کے اعداد لکھ لو
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ........
اب 2 سے شروع کرتے ہیں۔ اس کے نیچے لکیر لگا دو۔ اب 2 کے ضربیات کاٹ دو۔ اس کے بعد 3 کے نیچے لکیر لگاؤ۔ اب 3 کے ضربیات کاٹ دو۔ اس ظرح نہ کٹے اعداد کے نیچے لکیر لگا کر اس کے ضربیات کاٹنے (چھاننے) کا عمل جاری رکھو۔ کسی نھی وقت سب سے چھوٹا عدد جس کے نیچے لکیر نہیں لگی یا کٹا ہؤا نہیں، تو یہ عدد مفرد ہے۔ چونکہ $\lfloor\sqrt{300}\rfloor= 17$ ، اسلئے ہمیں 17 تک کے اعداد کے نیچے لکیر لگانے کا عمل جاری رکھنا ہے۔

[ترمیم] مفرد عدد کی پہچان

مفردی کی یہ ایک کسوٹی ہے: اگر عدد p مفرد ہے تو لازم ہے کہ وہ اس امتحان میں پورا اترے
p-1 کو 2 کی طاقت علیحدہ کر کے لکھو $p-1 =2^\zeta \times \eta$
تو p کے مفرد ہونے کے لیے لازم ہے کہ نیچے دی دو مساوات میں سے ایک کی تسکین ہو:
$\beta^\eta \equiv \pm 1 \mod p$

یا $\beta^{2^j \eta} \equiv -1 \mod p \,,\, j=1,2,\cdots,\zeta-1$
ہر نیچے دیے $β$ کے لیے
$\beta = 2,3,\cdots,p-2$

مثال: عدد 511 مفرد نہیں کیونکہ 7 سے تقسیم ہوتا ہے۔ مگر $β = 81$ کے لیے کسوٹی پر پورا اترتا ہے $\begin{matrix} p-1 = 510 = 2^1 \times 255 \\ \beta=81 \\ \beta^\eta = 81^{255} \equiv 1 \mod 511 \end{matrix}$
جس سے پتہ چلتا ہے کہ تمام $β$ کے لیے تسلی کرنی چاہیے۔

عملی طور پر یہ کسوٹی مفرد عدد ڈھونڈنے کے لیے استعمال ہوتی ہے۔ بہت بڑے اعداد کی تجزی کرنا ممکن نہیں ہوتا۔ کچھ عملیات میں یہ کرتے ہیں کہ کسی عدد کے بمطابق بہت سے رینڈم (بے ترتیب) $β$ لے کر (مگر سارے نہیں) تجربہ کیا جاتا ہے، اگر کسوٹی پر کوئی عدد پورا اترے تو اسے مفرد تصور کر لیا جاتا ہے۔

[ترمیم] توزیع مفرد اعداد

اگر x سے کم مفرد اعداد کی تعداد کو $π(x)$ لکھا جائے تو
$\frac{\pi(x) }{x/\ln(x)} \to 1 \,\, as\,\, x \to \infty$

        اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں (LTR) پڑھیۓ        ریاضی علامات

Retrieved from "http://ur.wikipedia.org../../../%D9%85/%D9%81/%D8%B1/%D9%85%D9%81%D8%B1%D8%AF_%D8%B9%D8%AF%D8%AF.html"

زمرہ جات: ابتدائی ریاضیات | ریاضیات

مفرد عدد

وکیپیڈیا سے

فہرست

[ترمیم] حساب کا بنیادی مسلئہ اثباتی

[ترمیم] مسلئہ اثباتی

[ترمیم] مسلئہ اثباتی

[ترمیم] مفرد عدد کی چھاننی

[ترمیم] مفرد عدد کی پہچان

[ترمیم] توزیع مفرد اعداد

Views

رہنمائی

ساتھی منصوبے

تلاش

دیگر زبانیں