Giải tích hàm
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Giải tích hàm là một ngành của giải tích toán học nghiên cứu các đối tượng và cấu trúc toán học trừu tượng, tổng quát hơn các không gian 
thông thường. Các kết quả và phương pháp của nó thâm nhập vào nhiều ngành khác nhau như lý thuyết phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết các bài toán cực trị và biến phân, phương pháp tính,... Ra đời vào những năm đầu của thế kỷ 20, đến nay giải tích hàm tích lũy được những thành tựu quan trọng và nó đã trở thành chuẩn mực trong việc nghiên cứu và trình bày các kiến thức toán học.
Những kiến thức cơ bản, đại cương của giải tích hàm là khái niệm không gian định chuẩn, không gian Banach, toán tử tuyến tính liên tục và một số định lý quan trọng của giải tích hàm tuyến tính như Nguyên lý bị chặn đều, Nguyên lý ánh xạ mở, Định lý Hahn-Banach, Định lý Banach-Alaoglu ... Các vấn đề cụ thể hơn như các không gian hàm, không gian Hilbert và các vấn đề liên quan đến toán tử tuyến tính như lý thuyết phổ và các toán tử compact cũng được xét đến. Cần phải nắm được các kiến thức về không gian mêtric, tô pô, lý thuyết độ đo, tích phân cũng như một số kỹ năng tính toán của giải tích cổ điển mới có thể hiểu sâu ngành giải tích hàm.
Vào năm 1932, Banach xuất bản cuốn sách "Lý thuyết toán tử", nội dung bao gồm những kết quả được biết vào thời đó về lý thuyết các không gian định chuẩn, đặc biệt là các định lý của Banach đã công bố trong các bài báo từ năm 1922-1929... Cuốn sách này làm cho Giải tích hàm có một tác động như cuốn sách của Van der Waerden về đại số, được xuất bản hai năm trước đó. Các nhà giải tích trên thế giới bắt đầu nhận thức được sức mạnh của phương pháp mới và áp dụng chúng vào các lĩnh vực khác nhau; các ký hiệu và thuật ngữ của Banach được chấp nhận rộng rãi, không gian định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach rồi chẳng bao lâu, lý thuyết này trở thành một phần bắt buộc trong chương trình đại học... (Theo J. Dieudonné (1981))
