中心化子和正规化子
维基百科，自由的百科全书
群论中，一个群G的子集S的中心化子和正规化子是G的子群它们分别在S的元素和作为一个整体S有受限制的作用。这些子群给出了关于G的结构的有用信息。
[编辑] 定义
群G的一个元素a的中心化子（记作CG(a)）是G的和a可交换的元素的集合；换句话说，CG(a) = {x 属于 G : xa = ax}。若H为G的子群，则CH(a) = CG(a) ∩ H。如果没有歧义，则可以将CG(a)记作C(a)。
更一般地，令S为G的任意子集（不必是子群）。则S在G中的中心化子定义为C(S) = {x属于G : 对于所有s属于S, xs = sx}。若S = {a}, 则C(S) = C(a)。
C(S)是G的子群；因为若x, y属于C(S)，则xy −1s = xsy −1 = sxy −1。
群G的中心是CG(G)，通常记作Z(G)。一个群的中心既是正规子群也是交换群，而且有很多其它重要属性。我们可以将a的中心化子视作最大的（用包含关系为序）G的子群H，满足a属于其中心Z(H)的条件。
一个相关的概念是，S在G中的正规化子，记作NG(S)或者N(S)。正规化子定义为N(S) = {x属于G : xS = Sx}。同样的是，N(S)可以视作G的子群。正规化子的名字来源于如果我们令<S>为一个由S生成的子群，则N(S)是最大的满足包含<S>为其正规子群的G的子群。<S>在其中为正规子群的最小的G的子群称为共轭闭包。
G的子群H称为G的子正规化子群，如果NG(H) = H.
[编辑] 属性
若G是交换群，则任何G的子集的中心化子和正规化子就是G的全部；特别是，一个群可交换，当且仅当Z(G) = G。
若a和b是G的任意元素，则a在C(b)中，当且仅当b在C(a)中，这有当且仅当a和b可交换。 若S = {a}则N(S) = C(S) = C(a)。
C(S)总是N(S)的正规子群:若c属于C(S)而n属于N(S)，我们要证明n −1cn属于C(S)。为此，取s属于S并令t = nsn −1。则t属于S，所以ct = tc。注意到ns = tn;以及n −1t = sn −1。我们有
- (n −1cn)s = (n −1c)tn = (n −1(tc)n = (sn −1)cn = s(n −1cn)
这也就是要证明的命题。
若H是G的子群，则N/C定理表明因子群N(H)/C(H)同构于Aut(H)（H的自同构群）的子群。
因为NG(G) = G，N/C定理也意味着G/Z(G)同构于Inn(G)（由所有G的内自同构组成的Aut(G)的子群）。
如果我们通过T(x)(g) = Tx(g) = xgx −1定义群同态 T : G → Inn(G)，则我们可以用Inn("G")在G上的群作用来表述N(S)和C(S)：S在Inn(G)中的定点子群就是T(N(S))，而Inn(G)中固定S的子群就是T(C(S))。
