基数指派

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在集合论中，势的概念可不借助于实际的定义基数为理论自身内的对象而开发出来(这实际上是弗雷格采用的观点；弗雷格基数基本上是在整个集合的全集上是等势的集合的等价类)。这个概念可以依据函数与单射和满射的概念定义等势来开发；这给予我们在整个全集上通过大小的伪次序关系

$A \leq_c B\quad \iff\quad (\exists f)(f : A \to B\ \mathrm{is\ injective})$ 。

它不是真的排序，因为三分律不需要成立: 如果 $A \leq_c B$ 和 $B \leq_c A$ 都为真，则通过 Cantor-Bernstein-Schroeder定理 $A =_c B \$ 为真，就是说 A 和 B 是等势的，但是它们不必须在字面上相等；三者至少一种情况成立等价于选择公理。

不过多数关于势和它的算术的有价值的结果可以只通过 =_c 来表达。

基数指派的目标是对每个集合 A 指派只由 A 的势决定的特定的唯一的一个集合。这和谐于康托尔最初版本的势: 采用一个集合并抽象它的元素为规范“单位”并收集这些单位到另一个集合中，使得有关这个集合唯一特殊的事情是它的大小。它们将按 $\leq_c$ 而是全序的，=_c 将是真正的等式。如 Y. N. Moschovakis 所说这只是在数学高雅上的一个实验，你不会得到更多东西除非你“对下标过敏”。但是在集合论的各种模型中有“真实”基数的各种有价值的应用。

在现代集合论中，我们通常使用冯·诺伊曼基数指派，它使用序数的理论与选择公理和替代公理的全部能力。基数指派不需要完全的选择公理，如果我们想要象样的基数算术和对所有集合的指派。可以参见 Moschovakis 对集合论的卓越介绍。

[编辑] 不用选择公理的基数指派

形式上，假定选择公理，一个集合 X 的势是最小的序数 α 使得在 X 和 α 之间有双射。这个定义叫做冯·诺伊曼基数指派。如果不假定选择公理我们需要做某些不同的事情。一个集合 X 的势的最老的定义(康托尔隐晦而弗雷格和《数学原理》明确)是等势于 X 的所有集合的集合: 这在 ZFC 或其他有关的公理化集合论中不成立，因为这个搜集对于一个集合而言太大了，但是在类型论与新基础和有关系统中成立。但是，如果我们限制这个类为有最小阶的同 X 等势的那些对象的搜集，则它就成立(这是 Dana Scott 的一个技巧: 它成立是因为带有任何给定阶的对象的收集是一个集合)。