模型论

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数学上，模型论是从集合论的论述角度对数学概念表现（representation）的研究，或者说是对于作为数学系统基础的“模型”的研究。粗略地说，该学科假定有一些既存的数学“对象”，然后研究：当这些对象之间的一些运算或者一些关系乃至一组公理被给定时，可以相应证明出什么，以及如何证明。

比如实数理论中一个模型论概念的例子是：我们从一个任意集合开始，作为集合元素的每个个体都是一个实数，其间有一些关系和(或)函数，例如{ ×, +, −, ., 0, 1 }。若我们在该语言中问"∃ y (y × y = 1 + 1)"这样一个问题，显然该陈述对实数而言成立 - 确实存在这样的一个实数y, 即所谓2的平方根；对于有理数，该陈述却并不成立。一个类似的命题，"∃ y (y × y = 0 − 1)",在实数中不成立，却在复数中成立，因为 i × i = 0 − 1。

模型论研究什么是在给定的数学系统中可证的，以及这些系统相互间的关系。它特别注重研究当我们试图通过加入新公理和新语言构造时会发生什么。

现在模型论（及其方法）已经广泛地应用于其它数学分支甚至理论计算机与工程计算中。例如Hrushovski用模型论方法证明了代数几何中的Mordell-Lang猜想。

[编辑] 定义

结构被形式的定义于某个语言L 的上下文中，它由常量符号的集合，关系符号的集合，和函数符号的集合组成。在语言L上的结构，或L-结构，由如下东西组成:

一个全集或底层集合A，它包含所有感兴趣的对象("论域")，
给 L 的每个常量符号一个在 A 中元素，
给 L 的每个 n 价函数符号一个从 Aⁿ 到 A 的函数，和
给 L 的每个 n 价关系符号一个在 A 上的 n-元关系(换句话说，Aⁿ的一个子集)。

函数或关系的价有时也叫做元数(术语"一元"、"二元" 和"n-元"中的那个元)。

在语言L中的理论，或L-理论，被定义为L中的句子的集合，并被叫做闭合理论，如果句子的集合闭合于通常的推理规则之下。例如，在某个特定L-结构下为真的所有句子的集合是一个闭合L-理论。

L-理论T的模型由在其中T的所有句子都为真的一个L-结构组出，它通常用T-模式的方式定义。

理论被称为可满足的，如果它有模型。

例如，偏序的语言有一个二元关系 ≥。因而偏序的语言的结构就是带有 ≥ 所指示的二元关系的一个集合，它是偏序的理论的模型，如果此外它还满足偏序的公理。

[编辑] 定理

哥德尔完备性定理表明理论有一个模型当且仅当它是自洽的，也就是说没有矛盾可以被该理论所证明。这是模型论的中心，因为它使得我们能够通过检视模型回答关于理论的问题，反之亦然。不要把完备定理和完备理论的概念混淆。一个完备的理论是包含每个句子或其否命题的理论。重要的是，一个完备的自洽理论可以通过扩展一个自洽的理论得到。

紧致性定理说一组语句S是可满足的（即有一个模型）当且仅当S的每一个有限子集可满足。在证明理论的范围内类似的定义是下显而易见的，因为每个证明都只能有有限量的证明前提。在模型论的范畴内这个证明就更困难了。目前已知的有两个证明方法，一个是库尔特·哥德尔提出的（通过证明论），另一个是阿纳托利·伊万诺维奇·马尔采夫提出的（这个更直接,并允许我们限制最后模型的基数）。

模型论一般与一阶逻辑有关。许多模型论的重要结果(例如哥德尔完备性定理和紧致性定理)在二阶逻辑或其它可选的理论中不成立。在一阶逻辑中对于一个可数的语言，任何理论都有可数的模型。这在勒文海姆-斯科伦定理中有表达，它说对于任何可数的语言中的任何有一个无限模型都有一个可数的初等子模型。

莫雷(Morley)证明了著名的范畴定理.即对于可数语言的任何可数完备理论，如果它在某个不可数基数上是范畴的，则它在所有不可基数上都是范畴的。这个定理极大的刺激了模型论的发展，产生了后来的所谓稳定性理论(stable theory).

近来模型论更加着重于对于其它数学分支，尤其是代数和代数几何,的应用。

[编辑] 技术参考

[编辑] 一阶语言和结构

定义 一阶语言 $\mathfrak{L}\,$ 是一组独特的印刷上的符号，分类如下:

等价符号 $=\,$ ；连结词 $\lor\,$ ， $\lnot\,$ ；全称量词 $\forall\,$ 和圆括号 $(\,$ ， $)\,$ 。
变量符号的可数集合 $\{v_i\}_{i = 0}^\infty\,$ 。
常量符号的集合 $\{c_\alpha\}_{\alpha \in \Alpha}\,$ 。
函数符号的集合 $\{f_\beta\}_{\beta \in \Beta}\,$ 。
关系符号的集合 $\{R_\gamma\}_{\gamma \in \Gamma}\,$ 。

所以，要指定一个语言，通常只指定一组常量符号、函数符号和关系符号就足够了，因为第一组符号是标准的。圆括号只充当形成符号的群组的目的，在公式中书写函数和关系的时候被非形式的使用。

这些符号就是符号。它们不代表任何东西。他们不意味任何事物。加入语义和语言学要点对数学语言的形式化是没有用的。

因为确实需要在这些形式化之外获得某些意义。在语言之上的模型的概念就提供着这种语义。

定义在语言 $\mathfrak{L}\,$ 上的 $\mathfrak{L}\,$ -结构是由非空集合 $A\,$ 构成的包(bundle)，它是结构的全集，包括了:

对于来自 $\mathfrak{L}\,$ 的每个常量符号 $c\,$ ，有一个元素 $c^{\mathfrak{A}} \in A\,$ 。
对于来自 $\mathfrak{L}\,$ 的每个 $n\,$ -元函数符号 $f\,$ ，有一个 $n\,$ -元函数 $f^{\mathfrak{A}} : A^n \longrightarrow A\,$ 。
对于来自 $\mathfrak{L}\,$ 的每个 $n\,$ -元关系符号 $R\,$ ，有一个在 $A\,$ 上的 $n\,$ -元关系，就是说一个子集 $R^{\mathfrak{A}} \subseteq A^n\,$ 。

在这个上下文中对这种结构使用模型这个词。但是理解它的动机或许是重要的，见下。

[编辑] 项、公式和句子

定义 $\mathfrak{L}\,$ -项是来自 $\mathfrak{L}\,$ 的符号的非空有限字符串 $t\,$ ，如

$t\,$ 是一个变量符号。
$t\,$ 是一个常量符号。
$t\,$ 是形如 $f t_1 ... t_n\,$ 的字符串，这里的 $f\,$ 是 $n\,$ -元函数符号而 $t_1\,$ , ..., $t_n\,$ 是 $\mathfrak{L}\,$ 的项。

定义 $\mathfrak{L}\,$ -公式是来自 $\mathfrak{L}\,$ 的符号的非空有限字符串 $\phi\,$ ，如

$\phi\,$ 是形如 $t_1 = t_2\,$ 的字符串，这里的 $t_1\,$ 和 $t_2\,$ 是 $\mathfrak{L}\,$ 的项。
$\phi\,$ 是形如 $R t_1 ... t_n\,$ 的字符串，这里的 $R\,$ 是 $n\,$ -元关系符号而 $t_1\,$ , ..., $t_n\,$ 是 $\mathfrak{L}\,$ 的项。
$\phi\,$ 形如 $\lnot(\alpha)\,$ ，这里的 $\alpha\,$ 是 $\mathfrak{L}\,$ -公式。
$\phi\,$ 形如 $(\alpha \lor \beta)\,$ ，这里的 $\alpha\,$ 和 $\beta\,$ 二者是 $\mathfrak{L}\,$ -公式。
$\phi\,$ 形如 $(\forall y)(\alpha)\,$ ，这里的 $y\,$ 是来自 $\mathfrak{L}\,$ 的变量符号而 $\alpha\,$ 是 $\mathfrak{L}\,$ -公式。

定义由要么第一个要么第二个子句来特征描述的 $\mathfrak{L}\,$ -公式被称为原子。

定义设 $\phi\,$ 是一个 $\mathfrak{L}\,$ -公式。来自 $\mathfrak{L}\,$ 的变量符号 $x\,$ 被称为在 $\phi\,$ 中是自由的，如果

$\phi\,$ 是原子，而 $x\,$ 出现在 $\phi\,$ 中。
$\phi\,$ 形如 $\lnot(\alpha)\,$ ，而 $x\,$ 在 $\alpha\,$ 中是自由的。
$\phi\,$ 形如 $(\alpha \lor \beta)\,$ ，而 $x\,$ 在 $\alpha\,$ 或 $\beta\,$ 中是自由的。
$\phi\,$ 形如 $(\forall y)(\alpha)\,$ ，这里的 $x\,$ 和 $y\,$ 不是同一个变量符号而 $x\,$ 在 $\alpha\,$ 中是自由的。

定义句子是没有自由变量的公式。

[编辑] 指派函数

此后， $\mathfrak{L}\,$ 将指称一阶语言， $\mathfrak{A}\,$ 是 $\mathfrak{L}\,$ -结构，它下层的全集用 $A\,$ 指称。每个公式都将被理解为 $\mathfrak{L}\,$ -公式。

定义到 $\mathfrak{A}\,$ 的变量指派函数(v.a.f.)是自 $\mathfrak{L}\,$ 的变量集合到 $A\,$ 的函数。

定义设 $s\,$ 是到 $\mathfrak{A}\,$ 的 v.a.f.。我们定义项指派函数(t.a.f.) $\overline{s}\,$ ，自 $\mathfrak{L}\,$ -项的集合到 $A\,$ ，如:

如果 $t\,$ 是变量符号 $x\,$ ，则 $\overline{s}(t) = s(x)\,$ 。
如果 $t\,$ 是常量符号 $c\,$ ，则 $\overline{s}(t) = c^{\mathfrak{A}}\,$ 。
如果 $t\,$ 形如 $f t_1 ... t_n\,$ ，则 $\overline{s}(t) = f^{\mathfrak{A}}(\overline{s}(t_1), ..., \overline{s}(t_n))\,$ 。

定义设 $s\,$ 是到 $\mathfrak{A}\,$ 的 v.a.f.，假定 $x\,$ 是一个变量而 $a \in A\,$ 。我们定义 v.a.f. $s[x|a]\,$ ，指称为 $x\,$ -指派函数的修改 $s\,$ ，为

$s[x|a](v) = \begin{cases} s(v) & \mbox{if } v \ne x \\ a & \mbox{if } v = x \end{cases} \,$

[编辑] 逻辑满足

定义设 $\phi\,$ 是公式，并假定 $s\,$ 是到 $\mathfrak{A}\,$ 的 v.a.f.。我们称 $\mathfrak{A}\,$ 通过指派 $s\,$ 满足 $\phi\,$ ，并写为 $\mathfrak{A} \models \phi[s]\,$ ，如果:

$\phi\,$ 形如 $t_1 = t_2\,$ ，而 $\overline{s}(t_1) = \overline{s}(t_2)\,$ 。
$\phi\,$ 形如 $R t_1 ... t_n\,$ ，而 $(\overline{s}(t_1), ..., \overline{s}(t_n)) \in R^{\mathfrak{A}}\,$ 。
$\phi\,$ 形如 $\lnot(\alpha)\,$ ，而 $\mathfrak{A}\mbox{ }\not\models\mbox{ }\alpha[s]\,$ 。
$\phi\,$ 形如 $(\alpha \lor \beta)\,$ ，而 $\mathfrak{A} \models \alpha[s]\,$ 或者 $\mathfrak{A} \models \beta[s]\,$ 。
$\phi\,$ 形如 $(\forall y)(\alpha)\,$ ，而对于每个元素 $a \in A\,$ ， $\mathfrak{A} \models \alpha[s[y|a]]\,$ 。

定义设 $\phi\,$ 是公式，并对到 $\mathfrak{A}\,$ 的每个 v.a.f. $s\,$ 假定 $\mathfrak{A} \models \phi[s]\,$ 。则我们称 $\mathfrak{A}\,$ 建模 $\phi\,$ ，并写为 $\mathfrak{A} \models \phi\,$ 。

定义设 $\Phi\,$ 是公式的集合，并对每个公式 $\phi \in \Phi\,$ 假定 $\mathfrak{A} \models \phi\,$ ，则我们称 $\mathfrak{A}\,$ 建模 $\Phi\,$ ，并写为 $\mathfrak{A} \models \Phi\,$ 。

在 $\phi\,$ 是句子的情况下，就是没有自由变量的公式，存在一个单一的 v.a.f.，对于它 $\mathfrak{A} \models \phi[s]\,$ ，直接的蕴涵了 $\mathfrak{A} \models \phi\,$ 。

定义设 $\phi\,$ 是一个句子，并假定 $\mathfrak{A} \models \phi\,$ 。则我们称 $\phi\,$ 为在 $\mathfrak{A}\,$ 中是真实的。

[编辑] 逻辑蕴含和真实

定义设 $\Psi\,$ 和 $\Phi\,$ 是公式的集合。我们称 $\Psi\,$ 为逻辑蕴涵 $\Phi\,$ ，并写为 $\Psi \models \Phi\,$ ，如果对于所有结构 $\mathfrak{A}\,$ ， $\mathfrak{A} \models \Psi\,$ 蕴涵 $\mathfrak{A} \models \Phi\,$ 。

作为简写，在处理单元素集合(singleton)的时候，我们经常写 $\Psi \models \phi\,$ 替代 $\Psi \models \{\phi\}\,$ 。

定义设 $\phi\,$ 是公式，并假定 $\varnothing \models \phi\,$ 。则我们称 $\phi\,$ 是全集有效，或者简单有效，在这种情况下我们简单的写为 $\models \phi\,$ 。

假如公式 $\phi\,$ 是有效的，实际上意味着所有 $\mathfrak{L}\,$ -结构 $\mathfrak{A}\,$ 建模 $\phi\,$ 。

定义设 $\phi\,$ 是一个句子，并假定 $\models \phi\,$ 。则我们称 $\phi\,$ 为真实的。

[编辑] 变量代换

定义设 $u\,$ 是项，并假定 $x\,$ 是变量，而 $t\,$ 是另一个项。我们定义这个项 $u_t^x\,$ ，读做把 $x\,$ 替换为 $t\,$ 的 $u\,$ ，如下:

如果 $u\,$ 是变量符号 $x\,$ ，则 $u_t^x\,$ 被定义为是项 $t\,$ 。
如果 $u\,$ 是不是 $x\,$ 的变量符号，则 $u_t^x\,$ 被定义为项 $u\,$ 。
如果 $u\,$ 是常量符号，则 $u_t^x\,$ 被定义为项 $u\,$ 。
如果 $u\,$ 形如 $f t_1 ... t_n\,$ ，则 $u_t^x\,$ 被定义为项 $f {t_1}_t^x ... {t_n}_t^x\,$ 。

定义设 $\phi\,$ 是公式，并假定 $x\,$ 是变量，而 $t\,$ 是项。我们定义公式 $\phi_t^x\,$ ，读做把 $x\,$ 替换为 $t\,$ 的 $\phi\,$ ，如下:

如果 $\phi\,$ 形如 $t_1 = t_2\,$ ，则 $\phi_t^x\,$ 被定义为公式 ${t_1}_t^x = {t_2}_t^x\,$ 。
如果 $\phi\,$ 形如 $R t_1 ... t_n\,$ ，则 $\phi_t^x\,$ 被定义为公式 $R {t_1}_t^x, ..., {t_n}_t^x\,$ 。
如果 $\phi\,$ 形如 $\lnot(\alpha)\,$ ，则 $\phi_t^x\,$ 被定义为公式 $\lnot(\alpha_t^x)\,$ 。
如果 $\phi\,$ 形如 $(\alpha \lor \beta)\,$ ，则 $\phi_t^x\,$ 被定义为公式 $(\alpha_t^x \lor \beta_t^x)\,$ 。
如果形如，则
- 如果 $x\,$ 和 $y\,$ 是同一个变量符号，则 $\phi_t^x\,$ 被定义为公式 $\phi\,$ 。
- 否则 $\phi_t^x\,$ 被定义为公式 $(\forall y)(\alpha_t^x)\,$ 。

[编辑] 可代换性

定义设 $\phi\,$ 是公式，并假定 $x\,$ 是变量，而 $t\,$ 是项。我们称 $t\,$ 对 $x\,$ 在 $\phi\,$ 中是可代换的，如果:

$\phi\,$ 是原子。
$\phi\,$ 形如 $\lnot(\alpha)\,$ ，而 $t\,$ 对 $x\,$ 在 $\alpha\,$ 中是可代换的。
$\phi\,$ 形如 $(\alpha \lor \beta)\,$ ，而 $t\,$ 对 $x\,$ 在 $\alpha\,$ 和 $\beta\,$ 二者中是可代换的。
形如，而
- 要么 $x\,$ 在 $\phi\,$ 中不是自由变量。
- 要么 $y\,$ 在 $t\,$ 中不出现，而 $t\,$ 对 $x\,$ 在 $\alpha\,$ 中是可代换的。

项于变量的可代换性的概念相应于在代换在项或公式中完成之后保持真实性的概念。严格的说，代换总是允许的，但可代换性将是强制的，以此生成意义不被代换所破坏的公式。

[编辑] 参见

一阶谓词逻辑
Tarski语义
紧致性定理
可靠性定理
哥德尔完备性定理
Craig插入定理
Beth可定义性定理
高阶逻辑
类论
哥德尔不完备定理
可公理化类
超实数
基本嵌入
饱和模型
力迫 (数学)
有限模型论
描述复杂度
Kripke语义

[编辑] 参考

Wilfrid Hodges, A shorter model theory (1997) Cambridge University Press ISBN 0-521-58713-1

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