施瓦茨引理

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数学上，施瓦茨引理是複分析关于定义在单位开圆盘的全纯函数的一个结果，以赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨为名。

设 $Δ = {z : | z | < 1}$ 为複平面中的开圆盘， $f:\Delta\to\Delta$ 是全纯函数，并有f(0)=0。那么

$| f(z) | \le | z |$

对所有在 $Δ$ 中的 $z$ ，以及 $| f'(0) | \le 1$ 。如果等式

$| f(z) |=| z |\,$

对任意z≠0成立，或

$| f'(0) |=1\,$ ，

那么 $f$ 是一个旋转： $f (z) = a z$ ，其中 $| a | = 1$ 。

这引理不及其他结果有名（例如黎曼映射定理，其证明有用到这引理），但是这是能显示全纯函数的严格性的一个简单结果。当然对于实函数没有类似的结果。

[编辑] 施瓦茨—皮克定理

施瓦茨引理有一个版本是在单位圆盘的解析自同构（即单位圆盘的全纯双射）下不变。这称为施瓦茨—皮克定理。

设 $f:\Delta\to\Delta$ 全纯。那么，对所有 $z_1,z_2\in \Delta$ ，

$\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{1-\overline{f(z_1)}f(z_2)}\right| \le \frac{\left|z_1-z_2\right|}{\left|1-\overline{z_1}z_2\right|}$ ，

还有，对 $z\in\Delta$ ，

$\frac{\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^2} \le \frac{1}{1-\left|z\right|^2}.$ 。

以下表达式

$d(z_1,z_2)=\tanh^{-1}\left(\frac{\left|z_1-z_2\right|}{\left|1-\overline{z_1}z_2\right|}\right)$

是庞加莱度量中两点 $z 1, z 2$ 的距离。庞加莱度量就是二维双曲几何的庞加莱圆盘模型的度量。这定理的要点是把单位圆盘映射到自己的全纯函数减少各点间的庞加莱度量下的距离。若上两不等式有一式的等号成立，就是说全纯映射保持庞加莱度量下的距离，那么f一定是单位圆盘的解析自同构，由把圆盘映射到自己的麦比乌斯转换映射所给出。

一个对上半平面 $\mathbb{H}$ 的相似的命题可记如下：