黎曼几何

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微分幾何中，黎曼幾何研究擁有黎曼度量的平滑流形。即是流形切空間上二次方程式的選擇。這特別關心角度,弧線長度及體積。從每一小片加起來得出整體的數量。

在19世紀,般赫·黎曼 (Bernhard Riemann)把這個概念推展開來。好似兩個非歐德幾何的特別例子(球體幾何和雙曲線幾何)。

任意平滑流形容許黎曼度量及這個額外結構幫助解決微分拓墣問題。它成為伪黎曼流形複雜結構的入門。當中大部分都是廣義相對論的四維物件。

黎曼幾何是不容易理解的。先要熟悉幾何及以下主題：

有用文章:

微分幾何主題列表
黎曼及度量幾何詞表

[编辑] 黎曼几何古典理論

以下是部分黎曼几何古典理論。

[编辑] 普遍理論

Gauss-Bonnet 理論:緊的2維黎曼流形上高斯曲率的积分等於 $2πχ(M)$ 這裡的 $χ(M)$ 記作M的Euler 特徵数.
拿殊崁入理論(两个)被稱為黎曼幾何的基礎理論。他們表明每個黎曼流形可以是崁入歐氏空間 Rⁿ.

[编辑] 理論

在所有以下定理中，我们用空间的局部行为(通常用曲率假设表述)来推出空间的整体结构的一些信息，包括流形的拓扑类型和"足够大"距离的点间的关系。

[编辑] 受限截面曲率

1/4-受限球定理. 若M是完备n-维黎曼流形，其界面曲率严格限制于1和4之间，则M同胚于n-球。

Cheeger's 有限定理. 给定常数C和D，只有有限个(微分同胚的流形算作一个)紧n-维黎曼流形，其截面曲率 $|K|\le C$ 并且直径 $\le D$ 。

Gromov的几乎平坦流形. 存在一个 $ε n > 0$ 使得如果一个n-维黎曼流形其度量的截面曲率 $|K|\le \epsilon_n$ 且直径 $\le 1$ ，则其有限覆盖微分同胚于一个零流形.

[编辑] 正曲率

[编辑] 正截面曲率

Soul定理. 若M是一个不紧的完备正曲率n-维黎曼流形，则它微分同胚于Rⁿ.
Gromov的Betti数定理 有一个常数C=C(n) 使得若M是一个由正截面曲率的紧连通n-维黎曼流形，则它的Betti数之和不超过C.

[编辑] 正Ricci曲率

Myers定理. 若一个紧黎曼流形有正Ricci曲率则它的基本群有限。

分裂定理. 若一个完备的n-维黎曼流形有非负Ricci曲率和一条直线(在任何区间上的距离都极小的测地线)则它等度同胚于一条实直线和一个有非负Ricci曲率的完备(n-1)-维黎曼流形的直积。

Bishop's 不等式. 半径为r的球在一个有正Ricci曲率的完备n-维黎曼流形中的体积不超过欧氏空间中同样半径的球的体积。

Gromov's紧致性定理. 所有正Ricci曲率且直径不超过D的黎曼流形在Gromov-Hausdorff度量下是仿紧的。

[编辑] 標量曲率

n-维环不存在有正标量曲率的度量。

若一个紧n-维黎曼流形的单射半径 $\ge \pi$ ，则标量曲率的平均值不超过n(n-1)。

[编辑] 負曲率

[编辑] 負截面曲率

任何有非正截面曲率的单连通黎曼流形的两点有唯一的测地线连接。

若M是一个有负截面曲率的完备黎曼流形，则基本群的任何可交换子群同构于整数群Z。

设V^*是一 $\mathbb{R}$ -rank $\geq$ 2的紧致不可约局部对称空间，设V是一截面曲率 $K\leq 0$ 的紧致 $C^{\infty}$ 黎曼流形，若 $v o l (V) = v o l (V *)$ ，且 $π 1 (V) = π (V *)$ ，则 $V$ 与 $V *$ 等距。

[编辑] 負Ricci曲率

任何有负Ricci曲率的紧黎曼流形有一个离散的等距同胚群。
任何光滑流形可以加入有负Ricci曲率的黎曼度量。

[编辑] 參考

Marcel Berger, Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century, (2000) University Lecture Series vol. 17, American Mathematical Society, Rhode Island, ISBN 0-8218-2052-4. (Provides a historical review and survey, including hundreds of references.)
Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2 (Provides a formal introduction, written at the grad-student level.)
Peter Peterson, Riemannian Geometry, (1998) Springer-Verlag, Berlin ISBN 0-387-98212-4. (Provides an introduction, presented at an undergrad level.)

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