Sheffer竖线

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Sheffer竖线，写为「|」或「↑」，指示等价于合取运算的否定的逻辑运算，普通语言表达为「不全是即真」。在布尔代数和数字电子中它叫做NAND（与非）运算。它是可用来表达与命题逻辑有关的所有布尔函数的自足算子之一。

它得名于Henry M. Sheffer，他证明了（Sheffer 1913）命题逻辑的所有常用算子（非、与、或、蕴涵等等）都可以用它来表达。查尔斯·皮尔士（1880）在30多年前就发现了这个事实。皮尔士还发现所有布尔算子都可以用NOR算子来表达。

[编辑] Sheffer竖线

Sheffer竖线"|"等价于合取的否定:

$A | B = \neg (A \wedge B) = \overline{AB}$

下列真值表在语义上定义了"|":

$\|$	F	T
F	T	T
T	T	F

其他逻辑算子可以依据"|"来定义，比如:

$\neg A = A | A,$

$A \wedge B = (A | B) | (A | B),$

$A \vee B = (A | A) | (B | B),$

$A \rightarrow B = A | (B | B) = A | (A | B).$

[编辑] 基于Sheffer竖线的形式系统

下面是完全基于Sheffer竖线的形式系统的一个例子，它有着命题逻辑的表达能力。

[编辑] 1. 符号

A B C D E F G '
( | )

Sheffer 竖线符合交换律不符合结合律。所以包括Sheffer竖线的所有形式系统必须也包含某种表示组合的方式。我们将为此采用 '(' 和 ')'。

[编辑] 2. 文法

字母 A,B,C,D,E,F和G是原子。

任何字母加撇(prime)一次或多次还是一个原子(比如 A', B′′, C′′′, D′′′′ 都是原子)。

构造规则I：原子是合式公式(wff)。

构造规则II：如果X和Y是wff，则(X|Y)是wff。

闭包规则：不能使用前两个构造规则构造的任何公式都不是wff。

字母U,V,X和Y是表示wff的元变量。

确定一个公式是否是合式公式的一个判定过程如下: 反向应用构造规则"解构"这个公式，把这个公式分解为更小的子公式。接着对每个子公式重复这个递归的解构过程。最终这个公式被简约到它的原子，如果某个子公式不能被简约，则这个公式不是 wff。

[编辑] 3. 公理

下列wff是公理模式，即在把所有元变量替代为wff后变为公理。

THEN-1:(U|(U|(V|(U|U))))

[编辑] 4. 推理规则

等价代换。设wff X包含子公式U的一个或多个实例。如果U=V，则把X中U的一个或多个实例替换为V不改变X的真值。特别是，如果X=Y是个定理，则在V对U的任何代换之后仍是这种情况。

交换律: (X|Y) = (Y|X)

对偶律: 如果形如 X 和 (X|X) 的字符串都出现在一个定理中，则如果对换这两个字符串在这个定理中的所有出现，则结果也是个定理。

双重否定律: ((X|X)|(X|X)) = X

模仿律: (U|(X|X)) = (U|(U|X))

THEN-3: (U|(U|(V|(V|X)))) = (V|(V|(U|(U|X))))

MP-1: U, (U|(V|X)) $\vdash$ V

MP-2: U, (U|(V|X)) $\vdash$ X

注意。公式 (U|(V|X)) 有释义U→V∧X。肯定前件是MP-1和MP-2在V和X同一的时候的特殊情况。

[编辑] 简化

因为这个逻辑的唯一连结词是"|"，符号"|"可以一起都丢弃，只留下圆括号用来组合字母。一对圆括号必须总是包含一对 wff。使用这种简单表示法的例子有

(A(A(B(B((AB)(AB)))))),

(A(A((BB)(AA)))).

明显类似于LISP的语法。

表示法可以进一步简化，通过让

(U) := (UU)

((U)) $\equiv$ U

对于任何 U。这种简化导致了需要改变某些规则: (1) 多于两个字母允许在圆括号内。(2) 在圆括号内的字母或 wff 允许交换。(3) 在同一组圆括号内的重复字母或 wff 可以除去。这个结果是 Peirce 的存在图的相应版本。

[编辑] 引用

Charles Peirce, 1880. 'A Boolean Algebra with One Constant'. In Hartshorne, C, and Weiss, P., eds., (1931-35) Collected Papers of Charles Sanders Peirce, Vol. 4: 12-20. Harvard University Press.
H. M. Sheffer, 1913. "A set of five independent postulates for Boolean algebras, with application to logical constants," Transactions of the American Mathematical Society 14: 481-488.

[编辑] 参见

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