Трансформация на Лаплас

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Трансформацията на Лаплас е широкоизползван математически метод за анализ на линейни системи чиито характеристики не се променят с времето (на английски Linear Time-Invariant Systems, LTI). Наречена е на името на френския математик Пиер Симон дьо Лаплас, който я използвал във своята работа върху теорията на вероятностите. Откривателят ѝ е брилянтният швейцарски математик Леонард Ойлер.

Трансформацията на Лаплас намира приложение във физиката, оптиката, електрониката, автоматиката, математическия анализ, теорията на вероятностите и обработката на сигнали.

[редактиране] Дефиниция

Дадена $f(t), t \ge 0,$ трансформацията на Лаплас се дефинира като

$\mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_{0^-}^\infty e^{-st} f(t)\,dt,$

където $f (t)$ обикновено е функция зависеща от времето. Резултатът е функция дефинирана в областта на комплексната честота $s$ , като $s = \sigma + i \omega. \,$ . Долната граница на интеграла $0 -$ означава $\lim_{\epsilon \rightarrow +0} -\epsilon \$ , идеята на което е да се включи в интегралната трансформация функцията делта на Дирак $\delta (t) \$ (наричана още "импулс").

Свойствата на тази трансформация да преобразува диференцирането и интегрирането съответно в умножение и деление, позволяват да се преобразуват интегро-диференциални уравнения в полиномни, които са много по-лесни за решаване.