Laplaceova transformace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Laplaceova transformace je jedním ze základních matematických nástrojů nejen teorie automatického řízení. Transformaci odvodil již roku 1812 francouzský matematik Pierre Simon de Laplace (1749-1827). Nebyl ale první - již roku 1737 použil tuto transformaci (pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic) Leonhard Euler. V technice se s ní setkáme při studiu vlastností systému spojitě pracujících v čase (v tomto smyslu je Laplaceova trasformace protějškem Z-transformace pro diskrétní systémy). Výhodné užití L.transformace spočívá v možnosti snadného převodu funkcí z časové oblasti do oblasti komplexní. Důsledkem toho se pak složité matematické operace v okruhu diferenciálních rovnic, jenž bychom museli složitě počítat při analýze a syntéze systémů řízení, mohou nahradit mnohem jednodušími algebraickými operacemi.

[editovat] Definice Laplaceovy transformace

Nechť je funkce $f (t)$ spojitě (nebo alespoň po částech spojitě) definována pro každé t na časovém intervalu $<0;\infty)$ . Pak Laplaceova transformace funkce $f (t)$ je definována integrálním vztahem

$L\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\, dt$

kde s je komplexní nezávisle proměnná a L značí Laplaceovu transformaci. Z definičního integračního vztahu je zřejmé, že po integraci se funkce $f (t)$ stává pouze funkcí s a můžeme tak psát, že

$L\{f(t)\}=F(s)\,\!$

Funkci $f (t)$ nazýváme originálem a funkci $F (s)$ obrazem funkce $f (t)$ .

Poznámka: I v případě, že funkce $f (t)$ je na celém intervalu $<0;\infty)$ spojitá a definovaná, nemusí její obraz existovat. Jestliže totiž má mít definiční integrál konečnou hodnotu, musí $f (t)$ vyhovovat podmínce $\lim_{t \to \infty} |f(t)| e^{-st}=0$ . Tím je dokázáno, že např. funkce $f(t)=e^{t^2}$ tuto podmínku nesplňuje, a proto její obraz neexistuje. Dále v oblasti řízení se čas chápe jako nezávislá proměnná, která nabývá vždy jen kladných hodnot. Máme-li tedy libovolnou funkci $\tilde{f(t)}$ definovanou na celém intervalu $(-\infty;\infty)$ , pak funkci $f (t)$ , kterou podrobujeme Laplaceově transformaci, chápeme ve smyslu

$f(t)=\begin{cases} \tilde{f(t)} & \mbox{pro } t \geq 0, \\0 & \mbox{pro } t<0. \end{cases}$

[editovat] Vlastnosti Laplaceovy transformace

Množina hodnot $s$ , pro něž integrál konverguje, se nazývá oblast konvergence. Lze ukázat, že jestliže integrál konverguje pro danou funkci v bodě $s 0$ , pak konverguje v každém bodě $s$ , pro který platí $\Re[s]>\Re[s_0]$ . Oblast konvergence Laplaceovy transformace je tedy $\Re[s]>R$ , kde $R$ je dáno chováním funkce $f (t)$ pro $t\to\infty$ .

Inverzní Laplaceova transformace je dána vztahem

$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} F(s)e^{st}\, ds$ ,

kde $c$ je libovolné reálné číslo, pro které platí $c > R$ (jinými slovy integrujeme po přímce $\Re[s]=c$ v oblasti konvergence).

Výhodou použití Laplaceovy transformace pro počítání diferenciálních rovnic je její vztah k derivaci:

$\mathcal{L}f^{(n)} = s^n\mathcal{L}f - s^{n-1}f(0+) - ... - sf^{(n-2)}(0+) - f^{(n-1)}(0+)$

$\mathcal{L}$ značí Laplaceovu transformaci. Vzorec je odvozen pomocí integrace per partes a vzorec platí, pokud jednotlivé derivace existují. Jejich význam spočívá v přímém začlenění počátečních podmínek do výpočtu řešení diferenciální rovnice.