Pravilo derivacije količnika

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije

Oblasti u kalkulusu
Fundamentalna teorema Limes funkcije Kontinuitet Vektorska algebra Tenzor Teorem srednje vrijednosti
Diferencijacija
Derivacija proizvoda Derivacija količnika Derivacija složene funkcije Implicitna diferencijacija Taylorova teorema Tablica izvoda
Integracija
Spisak integrala Nepravi integrali Parcijalna integracija Integracija metodom substitucije Trigonometrijska substitucija

U kalkulusu, pravilo derivacije količnika je metoda izračunavanja derivacije funkcije koja je prikazana kao količnik druge dvije funkcije za koje derivaicja postoji.

Ako je funckija $f (x)$ ta koju deriviramo, može se pisati kao:

$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$

gdje je $h (x)$ ≠ $0$ , tada je derivacija fnkcije $g (x) / h (x)$ jednaka:

$\frac{d}{dx}f(x) = f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{{h(x)}^2}.$

Ili, prezicnije, za svako $x$ u nekom otvorenom intervalu, a koje sadrži $a$ , uz $h (a)$ ≠ $0$ ; i da postoje i $g'(a)$ i $h'(a)$ ; tada, $f'(a)$ takođe postoji:

$f'(a)=\frac{g'(a)h(a) - g(a)h'(a)}{h(a)^2}.$

[uredi] Primjeri

Derivacija od $(4 x - 2) / (x 2 + 1)$ je:

$\frac{d}{dx} \frac{(4x - 2)}{x^2 + 1}$	$=\frac{(x^2 + 1)(4) - (4x - 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$
	$=\frac{(4x^2 + 4) - (8x^2 - 4x)}{(x^2 + 1)^2}$
	$=\frac{-4x^2 + 4x + 4}{(x^2 + 1)^2}$

U gornjem primjeru, odabrali smo

g (x) = 4 x - 2

h (x) = x 2 + 1

Analogijski, derivacija $sin(x) / x 2$ (kada je $x$ ≠ 0) je:

$\frac{\cos(x) x^2 - \sin(x)2x}{x^4}$

Za više informacija o derivacijama trigonometrijskih funkcija, pogledajte: Derivacija funkcije.

Drugi primjer je:

$f(x) = \frac{2x^2}{x^3}$

gdje imamo $g (x) = 2 x 2$ i $h (x) = x 3$ , te $g'(x) = 4 x$ i $h'(x) = 3 x 2$ .

Derivacija $f (x)$ se računa na sljedeći način:

$f'(x)\,$	$=\frac {\left(4x \cdot x^3 \right) - \left(2x^2 \cdot 3x^2 \right)} {\left(x^3\right)^2}$
	$=\frac{4x^4 - 6x^4}{x^6}$
	$=\frac{-2x^4}{x^6}$
	$=-\frac{2}{x^2}$

[uredi] Dokaz

Pretpostavimo funkciju

f (x) = g (x) / h (x)

gdje je

h (x)

≠ 0 i gdje su funkcije

g

h

diferencijabilne.

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x + \Delta x)}{h(x + \Delta x)} - \frac{g(x)}{h(x)}}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{(g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{h(x)(g(x+\Delta x)-g(x))-g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}h(x)-g(x)\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}{h(x)h(x+\Delta x)}$

$= \frac{\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right)h(x) - g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\right)}{h(x)h(\lim_{\Delta x \to 0} (x+\Delta x))}$