Granična vrijednost funkcije

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije

Oblasti u kalkulusu

Fundamentalna teorema Limes funkcije Kontinuitet Vektorska algebra Tenzor Teorem srednje vrijednosti

Diferencijacija

Derivacija proizvoda Derivacija količnika Derivacija složene funkcije Implicitna diferencijacija Taylorova teorema Tablica izvoda

Integracija

Spisak integrala Nepravi integrali Parcijalna integracija Integracija metodom substitucije Trigonometrijska substitucija

U matematici, granična vrijednost funkcije je fundamentalni koncept u analizi. Funckija f(x) ima graničnu vrijednost l u tački p ako je vrijednost f(x) približno jednaka l (kada je x probližno p). Prve definicije, koje su se pojavite u ranom 19. vijeku, su napisane u tekstu ispod.

Sadržaj 1 Historija 2 Motivacija 3 Definicije 3.1 Funkcije na skupu realnih brojeva 3.2 Funkcije u metričnom prostoru 3.3 Funckcije u topološkom prostoru 3.4 Limes funkcija u beskonačnosti 3.4.1 Računanje graničnevrijednosti u beskonačnosti 3.5 Kompleksne funkcije 3.5.1 Granična vrijednost funkcije u tački 3.6 Granična vrijednost funkcije sa više promjenjivih 4 Osobina 5 Takođe pogledajte

[uredi] Historija

[uredi] Motivacija

[uredi] Definicije

[uredi] Funkcije na skupu realnih brojeva

Pretpostavimo da je f : R → R funkcija definisana u skupu realnih brojeva i da p,l ∈ R; tada kažemo: limes funkcije f ako x teži p je l, a to se piše:

ako i samo ako za svako realno ε > 0 postoji realno δ > 0 takvo da je | f(x) - l | < ε kada 0 < | x - p | < δ. Nije nužno da f(p) bude definisana.

x može težiti p odozgo (desno) ili odozdo (lijevo), kada se limes piše kao:

ili

respektivno. Ako su ova dva limesa jednaka sa l, tada pišemo limes od f(x) za p. Ako limesi nije jednaki sa l, tada limesi, kao takvi, ne postoje.

[uredi] Funkcije u metričnom prostoru

Pretpostavimo je f : (M,d_M) → (N,d_N) definisana između dva metrična prostora, sa x ∈ M, a p tačka gomilanja od M i l ∈ N. Tada kažemo da je granična vrijednost f, kada x teži p, l i pišemo

ako i samo ako za svako ε > 0 postoji δ > 0 takvo da je d_N(f(x), l) < ε kada je 0 < d_M(x, p) < δ. p ne mora biti u domeni od f, niti l mora biti u rangu od f.

Altervativna definicja, koja koristi koncept susjednosti članova, glasi:

ako i samo ako sa svaki susjedni član V od l u N postoji susjedni član U od p u M, takav da je f(U - {p}) ⊆ V.

[uredi] Funckcije u topološkom prostoru

Pretpostavimo da su X i Y topolo prostori, gdje je Y Hausdorffov prostor. Neka p bude tačka gomilanja od X, i l ∈Y i f : X - {p} → Y funkcija. Tada kažemo da je granična vrijednost f, ako x teži p, 'l i pišemo

ako i samo ako za svaki susjedni član V od l, postoji susjedni član U od p takav da je f(U - {p}) ⊂ V.

[uredi] Limes funkcija u beskonačnosti

If the extended real line R is considered, i.e., R ∪ {-∞, +∞}, then it is possible to define limits of a function at infinity.

Suppose f(x) is a real-valued function such that x may increase or decrease indefinitely, then we say that the limit of f as x approaches infinity is L and we write

if and only if for every ε > 0 there exists S > 0 such that | f(x) - L | < ε whenever x > S.

Similarly, we say that the limit of f as x approaches infinity is infinity and we write

if and only if for every R > 0 there exists S > 0 such that for all real numbers f(x) > R whenever x > S.

In an analogous way, the following expressions can be defined:

.

[uredi] Računanje graničnevrijednosti u beskonačnosti

There are three basic rules for evaluating limits at infinity for a rational function f(x) = p(x)/q(x):

• If the degree of p is greater than the degree of q, then the limit is positive or negative infinity depending on the signs of the leading coefficients;
• If the degree of p and q are equal, the limit is the leading coefficient of p divided by the leading coefficient of q;
• If the degree of p is less than the degree of q, the limit is 0.

If the limit at infinity exists, it represents a horizontal asymptote at x = L. Polynomials do not have horizontal asymptotes; they may occur with rational functions.

[uredi] Kompleksne funkcije

The complex plane with metric d(x,y): = | x − y | is also a metric space. There are two different types of limits when we consider complex-valued functions.

[uredi] Granična vrijednost funkcije u tački

Suppose f is a complex-valued function, then we write

if and only if

for every ε > 0 there exists a δ >0 such that for all real numbers x with 0<|x-p|<δ, we have |f(x)-L|<ε

It is just a particular case of functions over metric spaces with both M and N are the complex plane.

[uredi] Granična vrijednost funkcije sa više promjenjivih

By noting that |x-p| represents a distance, the definition of a limit can be extended to functions of more than one variable. In the case of a function f : R² → R,

if and only if

for every ε > 0 there exists a δ > 0 such that for all (x,y) with 0 < ||(x,y)-(p,q)|| < δ, we have |f(x,y)-L| < ε

where ||(x,y)-(p,q)|| represents the Euclidean distance. This can be extended to any number of variables.

[uredi] Osobina

To say that the limit of a function f at p is L is equivalent to saying

for every convergent sequence (x_n) in M with limit equal to p, the sequence (f(x_n)) converges with limit L.

If the sets A, B, ... form a finite partition of the function domain, , ... and the relative limit for each of those sets exist and is the equal to, say, L, then the limit exists for the point x and is equal to L.

The function f is continuous at p if and only if the limit of f(x) as x approaches p exists and is finite. Equivalently, f transforms every sequence in M which converges towards p into a sequence in N which converges towards f(p).

Again, if N is a normed vector space, then the limit operation is linear in the following sense: if the limit of f(x) as x approaches p is L and the limit of g(x) as x approaches p is P, then the limit of f(x) + g(x) as x approaches p is L + P. If a is a scalar from the base field, then the limit of af(x) as x approaches p is aL.

Taking the limit of functions is compatible with the algebraic operations, provided the limits on the right sides of the identity below exist:

(the last provided that the denominator is non-zero). In each case above, when the limits on the right do not exist, or, in the last case, when the limits in both the numerator and the denominator are zero, nonetheless the limit on the left may still exist -- this depends on which functions f and g are.

These rules are also valid for one-sided limits, for the case p = ±∞, and also for infinite limits using the rules

• q + ∞ = ∞ for q ≠ -∞
• q × ∞ = ∞ if q > 0
• q × ∞ = −∞ if q < 0
• q / ∞ = 0 if q ≠ ± ∞

(see extended real number line).

Note that there is no general rule for the case q / 0; it all depends on the way 0 is approached. Indeterminate forms — for instance, 0/0, 0×∞, ∞−∞, and ∞/∞ — are also not covered by these rules, but the corresponding limits can often be determined with L'Hôpital's rule.

[uredi] Takođe pogledajte

• Granična vrijednost realnih funkcija
• Granična vrijednost niza
• Limes superior i limes inferior