Subconjunt

De Viquipèdia

Exemple gràfic, A⊂B.

Un subconjunt és un conjunt format per elements d'una altre conjunt. Es diu que el primer conjunt és subconjunt del segon conjunt.

Per exemple:

A={1,2,3} i B={1,2,3,4,7}. Podem dir que A és un subconjunt de B.

La relació entre un subconjunt i un conjunt s'anomena inclusió i es representa pel símbol ⊂ ( $\subset$ ) o en l'ordre invers ⊃ ( $\supset$ ).

Per exemple, en el cas anterior podem escriure $A \subset B$ o $B \supset A$ .

Tot conjunt A és subconjunt d'ell mateix. Així, tot aquell subconjunt d' A que no sigui igual a A s'anomena subconjunt propi d'A.

Taula de continguts

1 Diferents notacions
2 Nombre de subconjunts que pot tenir un conjunt
3 Subconjunts disjunts
4 Conjunts complementaris

[edita] Diferents notacions

Actualment s'utilitzen fonamentalment dos sistemes diferents de notació pels subconjunts. El sistema clàssic utilitza "⊂" per a qualsevol subconjunt i "⊊" ( $\subsetneq$ ) per a subconjunts propis. Per altra banda, el sistema modern vol equiparar els símbols als de les desigualtats i utilitza "⊆" per a qualsevol subconjunt i "⊂" per als subconjunts propis. Finalment, hi ha una tercera corrent de matemàtics que utilitzen "⊆" per a subconjunts qualsevol i "⊊" per als propis per eliminar qualsevol tipus d'ambiguitat.

[edita] Nombre de subconjunts que pot tenir un conjunt

Un subconjunt pot tenir només una part dels elements de l'altre conjunt, tenir-los tots, o no tenir-ne cap (en aquest cas seria un conjunt buit). Per saber quants subconjunts podem tenir a partir d'un conjunt, s'utilitza l'expressió: $2 n$ , on $n$ és el nombre d'elements del conjunt.

Donat A={1,2,3,4}, tenim els subconjunts:

{1,2,3,4}

{1,2,3} {1,2,4} {1,3,4} {2,3,4}

{1,2} {1,3} {1,4} {2,3} {2,4} {3,4}

{1} {2} {3} {4}

∅

En total,

24 = 16

subconjunts.

Donat un conjunt A, el conjunt que té per elements tots els subconjunts d' A s'anomena conjunt de les parts d'A i es representa per $\mathcal{P} (A)$ .

Per exemple:

Si A={1,2}, llavors $\mathcal{P} (A) = \{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$ .

$\mathcal{P} (A)$ té, en efecte, $22 = 4$ elements.

[edita] Subconjunts disjunts

Dos subconjunts d'un mateix conjunt que no tenen cap element en comú s'anomenen subconjunts disjunts.

Per exemple:

Si A={q,w,e,r,t,p,o,i,u,y}, B={q,w,e,r} i C={p,o,i,u}, podem dir que B i C són dos subconjunts disjunts de A.

[edita] Conjunts complementaris

Quan la unió de dos subconjunts disjunts conté tots els elements del conjunt, es diu que són dos conjunts complementaris. Es pot expressar escrivint una C com a superíndex del conjunt.

Per exemple:

Si A={q,w,e,r,t,p,o,i,u,y}, B={q,w,e,r,t} i C={p,o,i,u,y}, llavors és clar que B i C són disjunts i que la seva unió és exactament A; per tant, podem dir que C és el complementari de B (respecte del conjunt A): $C = B C$ .

Obtingut de "http://ca.wikipedia.org../../../s/u/b/Subconjunt.html"

Categoria: Teoria de conjunts