Hypotéza singulárních kardinálů

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Hypotéza singulárních kardinálů (někdy také označovaná zkratkou SCH) je tvrzení z oboru teorie množin, které (pokud je přijato) zjednodušuje výpočet kardinální mocniny.

Toto tvrzení bylo formulováno R.Solovayem v roce 1974 v následujícím tvaru:

[editovat] Formulace hypotézy

Pro každý singulární kardinál $\aleph_{\alpha} \,\!$ platí
$\gimel(\aleph_{\alpha}) = max(\aleph_{\alpha + 1}, 2^{cf(\aleph_{\alpha})}) \,\!$

$\aleph_{\alpha} \,\!$ je zápis pro funkci alef používanou pro označování nekonečných kardinálů
$\gimel \,\!$ je zápis pro funkci gimel
$cf(\aleph_{\alpha}) \,\!$ je zápis pro kofinál kardinálního čísla

[editovat] Postavení hypotézy v teorii množin

Jak sám název napovídá, jedná se o hypotézu - tj. tvrzení, které zatím nebylo dokázáno z axiomů teorie množin a jsou dobré důvody se domnívat, že ani dokazatelné není.
SCH je důsledkem zobecněné hypotézy kontinua, což mimo jiné znamená, že je bezesporná s axiomy ZF - to vyplývá z bezespornosti samotné zobecněné hypotézy kontinua. Mezi oběma hypotézami ale neplatí ekvivalence - SCH je tedy „slabší“ tvrzení. Menachem Magidor roku 1977 dokázal, že SCH není dokazatelná v ZFC, pokud je existence superkompaktního kardinálu bezesporná s axiomy ZFC.

[editovat] Význam hypotézy

Hlavním významem SCH je, že podstatným způsobem zjednodušuje výpočet kardinální mocniny. Jsou-li $\aleph_{\alpha} \,\!$ a $\aleph_{\beta} \,\!$ libovolné nekonečné kardinály, pak (za předpokladu přijetí SCH) platí:

$\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}} = 2^{\aleph_{\beta}} \,\!$ , pokud $\aleph_{\alpha} \leq 2^{\aleph_{\beta}} \,\!$
$\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}} = \aleph_{\alpha} \,\!$ , pokud $\aleph_{\alpha} > 2^{\aleph_{\beta}} \,\!$ a $\aleph_{\beta} < cf(\aleph_{\alpha}) \,\!$
$\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}} = \aleph_{\alpha + 1}\,\!$ , pokud $\aleph_{\alpha} > 2^{\aleph_{\beta}} \,\!$ a $cf(\aleph_{\alpha}) \leq \aleph_{\beta} \,\!$