Zobecněná hypotéza kontinua
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Zobecněná hypotéza kontinua (označovaná často zkratkou GCH z anglického Generalized Continuum Hypothesis) je matematická hypotéza z oboru teorie množin, konkrétněji z oboru kardinální aritmetiky.
[editovat] Formulace hypotézy
Zobecněnou hypotézu kontinua formuloval v roce 1908 Felix Hausdorff v následující podobě:
Pro každé ordinální číslo 
platí:
Zobecněná hypotéza kontinua tedy v podstatě tvrdí, že neexistuje žádná mohutnost mezi kardinálním číslem 
a mohutností jeho potenční množiny 
.
Speciálně pro 
dostáváme 
, což není nic jiného, než Cantorova hypotéza kontinua (CH), která tvrdí, že nejmenší nespočetnou mohutností je mohutnost kontinua, tj. množiny reálných čísel.
[editovat] Řešení GCH
K.Gödel ukázal ve 40.letech 20.století, že GCH je bezesporná s axiomy Zermelo-Fraenkelovy teorie množin (ZF) - to znamená, že v ZF nelze dokázat její opak. (Přesnější by bylo mluvit o relativní bezespornosti - pokud je bezesporná ZF, pak je bezesporná i ZF obohacená o GCH.)
K důkazu použil třídy tzv. konstruovatelných množin - jedná se vnitřní model teorie množin (pokud přijmeme navíc axiom konstruovatelnosti - tj. předpoklad, že všechny množiny jsou konstruovatelné), ve kterém lze dokázat GCH.
Zajímavým výsledkem z roku 1960 je, že z GCH vyplývá platnost axiomu výběru - to znamená, že teorie vzniklá ze ZF přijmutím GCH je přimejmenším stejně silná, jako ZFC.
[editovat] Podívejte se také na
 |
Související články obsahuje: |
