Kardinální aritmetika

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Kardinální aritmetika je součást teorie množin, která definuje operace kardinálního součtu, kardinálního součinu a kardinální mocniny jako rozšíření běžných aritmetických operací s přirozenými čísly na všechna kardinální čísla a zabývá se jejich vlastnostmi především na nekonečných množinách.

Obsah

1 Definice kardinálního součtu a součinu
2 Vlastnosti kardinálního součtu a součinu
- 2.1 Vztah kardinálních a ordinálních operací
- 2.2 Trivialita kardinálního součtu a součinu
3 Definice kardinální mocniny
4 Základní vlastnosti kardinální mocniny
5 Co víme o kardinálních mocninách čísla 2
6 Podívejte se také na

[editovat] Definice kardinálního součtu a součinu

Jsou-li $\lambda, \mu \,\!$ dvě kardinální čísla, pak definujeme jejich kardinální součet a kardinální součin vztahy:

$\lambda + \mu = | (\{ 0 \} \times \lambda) \cup (\{ 1 \} \times \mu) | \,\!$
$\lambda . \mu = | \mu \times \lambda | \,\!$

Lidsky řečeno:
Kardinálním součtem dvou kardinálů je mohutnost jejich sjednocení, ve kterém si pomocí operace kartézského součinu s jednoprvkovou množinou zajistím jejich disjunktnost. Kardinálním součinem dvou kardinálů je mohutnost jejich kartézského součinu.

[editovat] Vlastnosti kardinálního součtu a součinu

[editovat] Vztah kardinálních a ordinálních operací

Zápis kardinálního součtu a součinu se nápadně podobá definici ordinálního součtu a ordinálního součinu (viz článek Ordinální aritmetika). Rozdíl je v tom, že u ordinálních operací se zajímám o typ dobrého uspořádání výsledné množiny - a dostávám tedy ze dvou ordinálních čísel opět ordinální číslo, zatímco u kardinálních operací se zajímám o mohutnost výsledné množiny - a dostávám tedy ze dvou kardinálních čísel opět kardinální číslo.

Protože každé kardinální číslo je zároveň ordinálním číslem, je třeba mezi oběma sadami operací rozlišovat, neboť výsledky se mohou lišit - shodují se pouze na konečných množinách.

Snadno se můžeme přesvědčit, že následující vztahy platí pro kardinální i pro ordinální operace stejně (stačí si dosadit použité množiny do definice součtu a součinu):

$3 + 7 = 10 \,\!$
$3 . 7 = 21 \,\!$
$1 + \omega = \omega \,\!$
$3 . \omega = \omega \,\!$

Existují ale poměrně jednoduché příklady, kde se ordinální a kardinální operace neshodují:

$\omega + 7 > \omega \,\!$ pro ordinální součet, ale
$\omega + 7 = \omega \,\!$ pro kardinální součet.
$\omega . \omega > \omega \,\!$ pro ordinální součin, ale
$\omega . \omega = \omega \,\!$ pro kardinální součin.

[editovat] Trivialita kardinálního součtu a součinu

Kardinální součet a součin jsou poměrně triviální a nezajímavé (z pohledu teorie množin) operace. Jejich vlastnosti se dají shrnout do dvou řádků:

pro dva konečné kardinály (tj. pro přirozená čísla) odpovídají kardinální součet a součin běžně použivaným operacím součtu a součinu
pokud je alespoň jeden ze sčítanců (resp. jeden z činitelů) nekonečný je hodnota součtu i součinu rovna maximu z obou sčítanců (resp. činitelů): $\lambda . \mu = \lambda + \mu = max(\lambda, \mu) \,\!$

Pokud použiji zápis nekonečných kardinálů pomocí funkce alef, dostávám tvrzení

$( \forall \alpha, \beta \isin On)( \aleph_{\alpha} . \aleph_{\beta} = \aleph_{\alpha} + \aleph_{\beta} = max(\aleph_{\alpha}, \aleph_{\beta})) \,\!$

[editovat] Definice kardinální mocniny

Jsou-li $\lambda, \mu \,\!$ dvě kardinální čísla, pak definujeme jejich kardinální mocninu $\lambda^{\mu} \,\!$ jako mohutnost množiny všech zobrazení množiny $\mu \,\!$ do množiny $\lambda \,\!$ .

[editovat] Základní vlastnosti kardinální mocniny

Kardinální mocnina má podobné základní vlastnosti jako běžná mocnina na přirozených číslech nebo ordinální mocnina:

$0^0 = 1 \,\!$
$0^{\lambda} = 0 \,\!$ pro $\lambda > 0 \,\!$
$\lambda^0 = 1 \,\!$
$1^{\lambda} = 1 \,\!$
$\lambda^{\mu_1 + \mu_2} = \lambda^{\mu_1}.\lambda^{\mu_2} \,\!$
$(\lambda^{\mu_1})^{\mu_2} = \lambda^{\mu_1.\mu_2} \,\!$

Stejně jako součet a součin, i mocnina se na oboru nekonečných kardinálů začíná podstatně lišit od ordinální mocniny:

${\lambda}^{\mu} = \lambda \,\!$ pro $\lambda \,\!$ nekonečné a $\mu \,\!$ konečné
${\lambda}^{\mu} = 2^{\mu} \,\!$ pro $\mu \,\!$ nekonečné a $2 \leq \lambda \leq \mu \,\!$

První z těchto dvou vztahů nám říká, že konečné exponenty pro nekonečný základ nejsou zajímavé, neboť dostanu opět původní číslo.

Pokud do druhého vzorce dosadím $\lambda = \omega \,\!$ a $\mu = \omega \,\!$ , dostávám výsledek
$\omega^{\omega} = 2^{\omega} \,\!$ ,
což znamená, že všech zobrazení z přirozených čísel do přirozených čísel je stejně jako zobrazení přirozených čísel do množiny $\{ 0,1 \} \,\!$ - a to je vlastně totéž, jako potenční množina $\mathbb{P}(\omega) \,\!$

Dá se ukázat, že $\mathbb{P}(\omega) \,\!$ má stejnou mohutnost jako množina $\mathbb{R} \,\!$ všech reálných čísel, tj. $| \mathbb{P}(\omega)| = | \mathbb{R} | = 2^{\omega} \,\!$ - proto je tato mohutnost obvykle označována jako mohutnost kontinua.

[editovat] Co víme o kardinálních mocninách čísla 2

Nabízí se zdánlivě jednoduchá otázka: který kardinál je mohutnost kontinua, tj. (přeloženo do značení pomocí funkce alef, kde $\omega = \aleph_0$ ) pro které $\alpha \,\!$ platí
$\aleph_{\alpha} = 2^{\aleph_0}$ ?

Tato zdánlivě jednoduchá otázka nemá z běžných axiomů teorie množin (ZF) odpověď. Jednu z možných odpovědí dává hypotéza kontinua: $2^{\aleph_0} = \aleph_1$ , což je intuitivně asi nejpřijatelnější. Tato hypotézá se nedá dokázat ani vyvrátit z axiomů teorie množin, je na nich nezávislá. Stejně tak je nezávislá i hypotéza $2^{\aleph_0} = \aleph_2$ nebo $2^{\aleph_0} = \aleph_{137}$ .

Jediné, co lze spolehlivě zjistit z axiomů teorie množin o průběhu funkce $2^{\aleph_{\alpha}}$ jsou následující tři údaje:

$\alpha \leq \beta \implies 2^{\aleph_{\alpha}} \leq 2^{\aleph_{\beta}}$
$\aleph_{\alpha} < 2^{\aleph_{\alpha}}$
$\aleph_{\alpha} < cf(2^{\aleph_{\alpha}})$ , kde $cf(\lambda) \,\!$ je kofinál kardinálu kde $\lambda \,\!$

Zobecněním hypotézy kontinua získáváme lepší představu o tom, jak se chovají kardinální mocniny čísla 2 pro všechny kardinály:
$2^{\aleph_{\alpha}} = \aleph_{\alpha + 1}$ pro každý ordinál $\alpha \,\!$

I tato hypotéza je však nezávislá na axiomech teorie množin. Nezávislé je dokonce i tvrzení, které vypadá na první pohled velice podezřele:
Kterýkoliv regulární kardinál může být první, na kterém bude porušena zobecněná hypotéza kontinua.

Například tedy můžeme klidně tvrdit, že