L'Hospitalovo pravidlo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

l'Hôspitalova pravidla slouží k výpočtu limit tzv. neurčitých výrazů typu $\frac{0}{0}$ a $\frac{\infty}{\infty}$ . Tato pravidla lze použít také při řešení neurčitých výrazů typu $0 \cdot \infty$ , $00$ , $1^\infty$ , $\infty^0$ nebo $\infty - \infty$ , které však vhodnými úpravami převádíme na neurčité výrazy typu $\frac{0}{0}$ nebo $\frac{\infty}{\infty}$ .

Obsah

1 Definice
2 Úprava výrazů pro použítí l'Hôspitalova pravidla
3 Příklady
4 Podívejte se také na

[editovat] Definice

Máme-li funkce $f (x), g (x)$ , pro něž v bodě c platí $\lim_{x \to c} f(x)=0$ a $\lim_{x \to c} g(x)=0$ , pak v případě, že existuje (vlastní nebo nevlastní) limita $\lim_{x \to c} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$ , platí

$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$

kde ${}^\prime$ označuje derivaci funkce.

Podobně v případě, kdy máme funkce $f (x), g (x)$ , pro něž v bodě c platí $\lim_{x \to c} f(x) = \infty$ a $\lim_{x \to c} g(x) = \infty$ . Existuje-li (vlastní nebo nevlastní) limita $\lim_{x \to c} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$ , pak opět platí vztah

$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$

Uvedená l'Hôspitalova pravidla jsou použitelná také v nevlastních bodech.

Pokud je $\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$ v bodě c opět neurčitým výrazem, lze l'Hôspitalova pravidla použít opakovaně. Takto můžeme postupovat, dokud nezískáme nějaký výraz, který není neurčitý.

[editovat] Úprava výrazů pro použítí l'Hôspitalova pravidla

l'Hôspilova pravidla jsou definována pouze pro neurčité výrazy typu $\frac{0}{0}$ nebo $\frac{\infty}{\infty}$ . Ostatní neurčité výrazy je nutno převést na tento typ neurčitého výrazu.

Uvažujme dále funkce $f (x), g (x)$ , které v bodě c nabývají hodnot 0 nebo $\infty$ .

Jestliže $f(x)\cdot g(x)$ představuje v c výraz $0 \cdot \infty$ , pak je můžeme upravit na $\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}$ , což je výraz typu $\frac{0}{0}$ , nebo na $\frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}$ , což je výraz typu $\frac{\infty}{\infty}$ .
Jesliže $f (x) - g (x)$ představuje v c výraz typu $\infty - \infty$ , pak jej lze upravit na $\frac{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x)\cdot g(x)}}$ , což je výraz typu $\frac{0}{0}$ .
Jestliže $f (x) g (x)$ představuje v c výraz typu $00$ , pak jej upravíme na ${f(x)}^{g(x)} = \mathrm{e}^{g(x)\cdot \log f(x)}$ , kde v exponentu je výraz $0 \cdot \infty$ , který lze dále upravit na výraz $\frac{0}{0}$ nebo $\frac{\infty}{\infty}$ . Při řešení pak využijeme toho, že $\lim_{x \to c} \mathrm{e}^{g(c) \cdot \log f(x)} = \mathrm{e}^{\lim_{x \to c} [g(x) \cdot \log f(c)]}$ .
Jestliže $f (x) g (x)$ představuje v c výraz typu $\infty^0$ , pak jej upravíme na ${f(x)}^{g(x)} = \mathrm{e}^{g(x)\cdot \log f(x)}$ , kde v exponentu je výraz $0 \cdot \infty$ , který dále řešíme stejně jako v předchozím bodu.
Jestliže $f (x) g (x)$ představuje v c výraz typu $1^\infty$ , pak jej upravíme na ${f(x)}^{g(x)} = \mathrm{e}^{g(x)\cdot \log f(x)}$ , kde v exponentu je výraz $\infty \cdot 0$ , který dále řešíme stejně jako v předchozím bodu.

[editovat] Příklady

Výraz $\frac{\log x}{x^3}$ představuje pro $x\to+\infty$ neurčitý výraz typu $\frac{\infty}{\infty}$ . Pomocí l'Hôspitalova pravidla tedy bude

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\log x}{x^3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{3 x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{3 x^3} = 0$

Neurčitý výraz typu $(0 \cdot \infty)$ převedeme úpravou součinu f(x)g(x) na podíl $\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}$ nebo $\frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}$ získáme tak neučitý výraz typu $\frac{0}{0}$ nebo $\frac{\infty}{\infty}$ . Ten už určíme l'Hôspitalovým pravidlem.

$\lim_{x \to 0_+} (x \cdot \ln x) = \lim_{x \to 0_+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0_+} \frac{(\ln x)^'}{(x^{-1})'} = \lim_{x \to 0_+} \frac{\frac{1}{x}}{-x^{-2}} = - \lim_{x \to 0_+} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}} = - \lim_{x \to 0_+} x = 0$