Правило Лопиталя

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В математическом анализе правилом Лопита́ля называют метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида $0 / 0$ и $\infty/\infty$ . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

[править] Точная формулировка

Правило говорит, что если функции $f (x)$ и $g (x)$ обладают следующим набором условий:

$\lim_{x\to a+}{f(x)}=\lim_{x\to a+}{g(x)}=0$ или $\infty$ ;
$\exists \lim_{x\to a+}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$ ;
$g(x)\neq 0$ в некоторой окрестности точки $a$ ,

тогда существует $\lim_{x\to a+}{\frac{f(x)}{g(x)}} = \lim_{x\to a+}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$ . При этом теорема верна и для других баз (для указанной будет приведено доказательство).

[править] История

Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован Лопиталем в его сочинении «Анализ бесконечно малых», изданном в 1696 году. В предисловии к этому сочинению Лопиталь указывает, что без всякого стеснения пользовался открытиями Лейбница и братьев Бернулли и «не имеет ничего против того, чтобы они предъявили свои авторские права на все, что им угодно». Иоганн Бернулли предъявил претензии на все сочинение Лопиталя целиком и в частности после смерти Лопиталя опубликовал работу под примечательным названием «Усовершенствование моего опубликованнного в „Анализе бесконечно малых“ метода для определения значения дроби, числитель и знаменатель которой иногда исчезают», 1704.

[править] Доказательство

1. Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (т. н. неопределённость вида $\left(\frac{0}{0}\right)$ ).

Поскольку мы рассматриваем функции $f$ и $g$ только в правой проколотой полуокрестности точки $a$ , мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть $f (a) = g (a) = 0$ . Возьмём некоторый $x$ из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку $[a,\;x]$ теорему Коши. По этой теореме получим:

$\exists c \in [a,x]\!:\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$ ,

но $f (a) = g (a) = 0$ , поэтому $\forall x\, \exists c \in [a,\;x]\!:\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$ .

Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через $A$ , из полученного равенства выводим:

$\forall \varepsilon>0\, \exists \delta>0\, \forall x(x-a<\delta\Rightarrow \left|\frac{f(x)}{g(x)}-A\right|<\varepsilon)$ для конечного предела и

$\forall M > 0\, \exists \delta>0\, \forall x(x-a<\delta\Rightarrow \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| > M)$ для бесконечного,

что является определением предела отношения функций.

2. Докажем теорему для неопределённостей вида $\left(\frac{\infty}{\infty}\right)$ .

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен $A$ . Тогда, при стремлении $x$ к $a$ справа, это отношение можно записать как $A + α$ , где $α$ — O(1). Запишем это условие:

$\forall\varepsilon_{1}\, \exists \delta_{1}\, \forall x(x-a<\delta_{1}\Rightarrow \alpha(x)<\varepsilon_{1})$ .

Зафиксируем $t$ из отрезка $[a,\;a+\delta_1]$ и применим теорему Коши ко всем $x$ из отрезка $[a,\;t]$ :

$\forall x\in [a;t]\ \exists c\in [a;\;x]\!:\frac{f(x)-f(t)}{g(x)-g(t)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$ , что можно привести к следующему виду:

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1-\frac{g(t)}{g(x)}}{1-\frac{f(t)}{f(x)}}\cdot\frac{f'(c)}{g'(c)}$ .

Для $x$ , достаточно близких к $a$ , выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как $f (t)$ и $g (t)$ — константы, а $f (x)$ и $g (x)$ стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен $1 + β$ , где $β$ — бесконечно малая функция при стремлении $x$ к $a$ справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение $\varepsilon$ , что и в определении для $α$ :

$\forall \varepsilon_{1}\, \exists \delta_{2}\, \forall x(x-a<\delta_{2}\Rightarrow \beta(x)<\varepsilon_{1})$ .

Получили, что отношение функций представимо в виде $(1 + β)(A + α)$ , и $\left|\frac{f(x)}{g(x)}-A\right|<|A|\varepsilon_{1}+\varepsilon_{1}+\varepsilon_{1}^{2}$ . По любому данному $\varepsilon$ можно найти такое $\varepsilon_{1}$ , чтобы модуль разности отношения функций и $A$ был меньше $\varepsilon$ , значит, предел отношения функций действительно равен $A$ .

Если же предел $A$ бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то

$\forall M>0\, \exists \delta_{1}>0\, \forall x(x-a<\delta_{1}\Rightarrow\frac{f'(x)}{g'(x)}>2M)$ .

В определении $β$ будем брать $\varepsilon_{1} < \frac{1}{2}$ ; первый множитель правой части будет больше 1/2 при $x$ , достаточно близких к $a$ , а тогда $\frac{f(x)}{g(x)}>\frac{1}{2}\cdot 2M=M\Rightarrow \lim_{x\to a+}{\frac{f(x)}{g(x)}}=+\infty$ .

Для других баз доказательства аналогичны приведённым.

[править] Примеры

$\lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{x^{a}}}=\lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{a\cdot x^{a-1}}}=\ldots=\lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{a!}}=+\infty$ ;
$\lim_{x\to+\infty}{\frac{x^{a}}{\ln{x}}}=\lim_{x\to+\infty}{\frac{ax^{a-1}}{\frac{1}{x}}}=a\cdot\lim_{x\to+\infty}{x^{a}}=+\infty$ при $a > 0$ .