Numerická integrace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Velké množství určitých integrálů nelze vyjádřit prostřednictvím elementárních funkcí, např. při integraci transcendentních funkcí. V takovém případě používáme k určení hodnoty integrálu přibližných metod, mezi něž patří tzv. numerická integrace.

Při numerické integraci se snažíme nahradit integrál jiným druhem výpočtu, přičemž se snažíme zajistit, aby se získaná hodnota od skutečné hodnoty integrálu lišila co nejméně.

Numerické metody výpočtu integrálu jsou velmi vhodné pro použití ve výpočetní technice, neboť umožňují vytvoření relativně jednoduchých algoritmů pro určování hodnot určitých integrálů.

Metod numerické integrace existuje velké množství. Výběr správné metody závisí na požadované přesnosti řešení, časové náročnosti a jiných parametrech. Mezi nejjednodušší metody numerické integrace patří např. obdélníková, lichoběžníková nebo Simpsonova metoda.

[editovat] Obdélníková metoda

Obdélníková metoda numerické integrace.

Při obdélníkové metodě numerické integrace rozdělíme interval $\langle a,b\rangle$ body $x i$ , kde $a = x 0 < x 1 < x 2 < ... < x r = b$ , na $r$ stejně velkých podintervalů o velikosti $h=\frac{b-a}{r}$ . Hodnotu funkce $f (x)$ pro všechna $x$ v k-tém podintervalu nahradíme hodnotou $f (x k - 1)$ .

Integrál funkce $f (x)$ na intervalu $\langle a,b\rangle$ pak můžeme přepsat

$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = \int_a^{x_1} f(x)\mathrm{d}x + \int_{x_1}^{x_2} f(x)\mathrm{d}x + ... + \int_{x_{r-2}}^{x_{r-1}}f(x)\mathrm{d}x + \int_{x_{r-1}}^b f(x)\mathrm{d}x \approx$

$\approx h f(x_0)+h f(x_1)+...+h f(x_{r-2}) + h f(x_{r-1})$

Tento vztah je možné zapsat jako

$I = \int_a^b f(x)\mathrm{d}x \approx \frac{b-a}{r} \sum_{i=1}^r f(x_{i-1}) = I_r$ ,

kde $I$ označuje skutečnou hodnotu integrálu a $I r$ přibližnou hodnotu získanou numerickou integrací při rozdělení na r intervalů.

Chyba výpočtu je

$R_r = \left|I-I_r\right| \leq \frac{D_o{(b-a)}^2}{r} \leq \varepsilon$ ,

kde $D_o = \max_{a\leq x \leq b} \left|f^\prime(x)\right|$ a $\varepsilon$ je povolená chyba. Na základě požadované přesnosti, tedy povolené chyby $\varepsilon$ , určíme počet intervalů r, na něž je nutno interval $\langle a,b\rangle$ rozdělit, tzn.

$r \geq \frac{D_o{(b-a)}^2}{\varepsilon}$

[editovat] Lichoběžníková metoda

Lichoběžníková metoda numerické integrace.

Při lichoběžníkové metodě numerické integrace rozdělíme interval $\langle a,b\rangle$ body $x i$ , kde $a = x 0 < x 1 < x 2 < ... < x r = b$ , na $r$ stejně velkých podintervalů o velikosti $h=\frac{b-a}{r}$ . Hodnotu funkce $f (x)$ pro všechna $x$ v k-tém podintervalu nahradíme hodnotou $\frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}{2}$ . Integrál funkce $f (x)$ na intervalu $\langle a,b\rangle$ pak můžeme přepsat

$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = \int_a^{x_1} f(x)\mathrm{d}x + \int_{x_1}^{x_2} f(x)\mathrm{d}x + ...+ \int_{x_{r-2}}^{x_{r-1}} f(x)\mathrm{d}x + \int_{x_{r-1}}^b f(x)\mathrm{d}x \approx$

$\approx h \frac{f(x_0)+f(x_1)}{2} + h \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}+...+ h \frac{f(x_{r-2})+f(x_{r-1})}{2} + h \frac{f(x_{r-1})+f(x_r)}{2}$

Tento vztah je možné zapsat jako

$I = \int_a^b f(x)\mathrm{d}x \approx \frac{b-a}{2r} (f(a)+ 2f(x_1)+2f(x_2)+...+2f(x_{r-1})+f(b)) = I_r$ ,

kde $I$ označuje skutečnou hodnotu integrálu a $I r$ přibližnou hodnotu získanou numerickou integrací při rozdělení na r intervalů.

Chyba výpočtu je

$R_r = \left|I-I_r\right| < \frac{D_l{(b-a)}^3}{12 r^2} < \varepsilon$ ,

kde $D_l = \max_{a\leq x\leq b} \left|f^{\prime\prime}(x)\right|$ a $\varepsilon$ je povolená chyba. Na základě požadované přesnosti, tedy povolené chyby $\varepsilon$ , určíme počet intervalů $r$ , na něž je nutno interval $\langle a,b\rangle$ rozdělit, tzn.

$r > \sqrt[2]{\frac{D_l{(b-a)}^3}{12 \varepsilon}}$

[editovat] Simpsonova metoda

Simpsonovo pravidlo – výpočet plochy pod křivkou f(x) je nahrazen výpočtem plochy pod parabolou proložené třemi body funkce f(x), r=1, h=(a+b)/2.

Při Simpsonově metodě numerické integrace rozdělíme interval $\langle a,b\rangle$ body $x i$ , kde $a = x 0 < x 1 < x 2 < ... < x 2 r - 1 < x 2 r = b$ , na $2 r$ stejně velkých podintervalů o velikosti $h=\frac{b-a}{2r}$ . Hodnotu funkce $f (x)$ pro všechna $x$ v podintervalu $\langle x_{2k-1},x_{2k+1}\rangle$ nahradíme parabolou procházející body $f (x 2 k - 1), f (x 2 k), f (x 2 k + 1)$ , tzn.

f (x 2 k - 1) = A h 2 - B h + C

f (x 2 k) = C

f (x 2 k + 1) = A h 2 + B h + C

kde $A, B, C$ jsou neznámé parametry. Integrál funkce $f (x)$ na intervalu $\langle x_{2k-1},x_{2k+1}\rangle$ pak můžeme zapsat

$\int_{x_{2k-1}}^{x_{2k+1}} f(x)\mathrm{d}x \approx \int_{-h}{h}(A h^2 + B x + C)\mathrm{d}x = \frac{h}{3}(2Ah^2 + 6C)$

Původní integrovaná funkce f(x) a aproximace parabolou P(x).

Dosadíme-li do tohoto vztahu z předcházejících výrazů, dostaneme

$\frac{h}{3}(2Ah^2+6C) = \frac{h}{3} (f(x_{2k-1})+f(x_{2k+1})+4f(x_{2k}))$

Vhodnou změnou indexů lze tento vztah přepsat na

$\frac{h}{3}(2Ah^2+6C) = \frac{h}{3}(f(x_{2k-2})+4f(x_{2k-1})+f(x_{2k}))$

Integrál funkce $f (x)$ na intervalu $\langle a,b\rangle$ pak můžeme aproximovat vztahem

$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x \approx$

$\approx \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\right] + \frac{h}{3}\left[f(x_2)+4f(x_3)+f(x_4)\right] +$

$+ \ ... + \frac{h}{3}\left[f(x_{2r-2})+4f(x_{2r-1})+f(x_{2r})\right] =$

$= \frac{b-a}{6r} \{f(x_0)+4 \left[ f(x_1)+f(x_3)+...+f(x_{2r-1})\right] +$

$+ \ 2 \left[ f(x_2)+f(x_4)+ ... + f(x_{2r-2}) \right] + f(x_{2r})\}$

Chyba výpočtu je

$R_{2r} < \frac{D_S{(b-a)}^5}{180{(2r)}^4} < \varepsilon$ ,

kde $D_S = \max_{a\leq x\leq b} \left|f^{(4)}(x)\right|$ a $\varepsilon$ je povolená chyba. Na základě požadované přesnosti, tedy povolené chyby $\varepsilon$ , určíme počet intervalů $r$ , na něž je nutno interval $\langle a,b\rangle$ rozdělit, tzn.