Całkowanie numeryczne

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Całkowanie numeryczne to przybliżone obliczanie całek oznaczonych. Proste metody całkowania numerycznego polegają na przybliżeniu całki za pomocą odpowiedniej sumy ważonej całkowanej funkcji w kilku punktach.

Całkowanie numeryczne zalicza się do metod numerycznych.

Aby uzyskać dokładniejsze przybliżenie dzieli się przedział całkowania na niewielkie fragmenty. Ostateczny wynik jest sumą oszacowań całek w poszczególnych podprzedziałach. Najczęściej przedział dzieli się na równe podprzedziały ale bardziej wyszukane algorytmy potrafią dostosowywać krok do szybkości zmienności funkcji.

[edytuj] Metoda prostokątów

Prawdopodobnie najprostszym wzorem jest metoda punktu środkowego (midpoint rule):

$\int\limits_{x_*}^{x_*+h} f(x) dx \approx h f\left( x_* + \frac h 2 \right)$

Jeśli funkcja $f (x)$ zmienia się w niewielkim stopniu na przedziale $(x *, x * + h)$ , reguła taka da dobre przybliżenie całki.

[edytuj] Metoda trapezów

$\int\limits_{x_*}^{x_*+h} f(x) dx \approx \frac h 2\left[ f(x_*) + f(x_*+h) \right]$

Metoda daje zazwyczaj lepsze przybliżenie niż metoda prostokątów, ale wymaga policzenia wartości funkcji w 2 punktach.

[edytuj] Metoda parabol (Simpsona)

Wymaga podzielenia przedziału całkowania na parzystą liczbę podprzedziałów, tzn

$h = \frac {(b-a)} {2n}$

dla uproszczecnia oznaczamy:

x i = a + i h

oraz

f i = f (x i)

wykonując całkowanie wielomianu interpolacyjnego Lagrange'a z 3 kolejnych punktów otrzymujemy wzór Simpsona:

$\int\limits_{x_i}^{x_{i+2}} f(x) dx \approx \frac h 3 [f_i+4f_{i+1}+f_{i+2}]$

dla całego przedziału (a,b) otrzymujemy:

$\int\limits_a^b f(x) dx \approx \frac h 3 [f_0 + 4(f_1+...+f_{2n-1}) + 2(f_2+...+f_{2n-2}) + f_{2n}]$

[edytuj] Metody losowe

Do przybliżonania całki oznaczonej można również wykorzystać metody probabilistyczne. Należy pamiętać jednak, że wynik takiego całkowania jest też zmienną losową.

Monte Carlo

Idea opiera się na policzeniu pola pod wykresem funkcji dla $f (x) > 0$ i odjęciu pola nad wykresem dla $f (x) < 0$

probabilistyczna

$\int\limits_a^b f(x) dx \approx \frac {b-a} n \sum_{i=1}^n f(x_i)$

$x i$ jest losowo wybrierane z przedziału $< a, b >$
$n$ określa liczność próbki.

[edytuj] Przykład - metoda prostokątów

Spróbujmy scałkować funkcję $cos(x)$ na przedziale od 0 do 1. Ponieważ da się ją scałkować analitycznie, znamy dokładny wynik i możemy łatwo obliczać błąd przybliżenia różnych metod całkowania. Z dokładnością do 10 miejsc dziesiętnych prawidłowy wynik wynosi:

$\int\limits_0^1 \cos(x) dx = \sin(1) - \sin(0) = 0.8414709848$

Całkowanie numeryczne za pomocą zasady punktu środkowego da nam wynik:

$\int\limits_0^1 \cos(x) dx \approx (1-0) \cos\left(\frac 1 2\right) = 0.8775825619$

co daje błąd 0.0361115771 (błąd względny 4.3%) – niewielki jak na tak prostą metodę, jednak oczywiście niezadowalający do wielu zastosowań.

Żeby uzyskać lepsze przybliżenia możemy podzielić przedział całkowania:

$\int\limits_0^1 \cos(x) dx = \int\limits_0^{1/2} \cos(x) dx + \int\limits_{1/2}^1 \cos(x) dx \approx \left(\frac 1 2 - 0\right) \cos\left(\frac 1 4\right) + \left(1 - \frac 1 2\right) \cos\left(\frac 3 4\right) = 0.8503006452$

Z błędem bezwzględnym 0.0088296604 lub względnym 1%.

Dzieląc przedział całkowania na więcej fragmentów możemy uzyskać lepsze przybliżenie:

Ilość części	Wynik	Błąd
1	0.8775825619	0.0361115771
2	0.8503006452	0.0088296604
4	0.8436663168	0.0021953320
8	0.8420190672	0.0005480824

[edytuj] Przykład 2

Całkowanie numeryczne przebiegów czasowych. Spróbujmy scałkować spróbkowany przebieg $sin(t)$ na przedziale od 0 do $4 * π$ [s]. Załóżmy, że częstotliwość próbkowania $f p$ przebiegu wynosi $f p$ [Hz].

Do obliczeń wykorzystamy metodę prostokątów. Średnica podziału $t_p=\frac{1}{fp}=t_{i+1}-t_i$ wynosi 1. Niech $X i (t)$ oznacza próbkę po całkowaniu. Każdy wyraz $X i$ można obliczyć jako sumę częściową:

$X_i=\sum_{n=0}^{i} x_i(t)t_p$

Im mniejsza średnica podziału (wyższa częstotliwość próbkowania), tym wynik dokładniejszy. Uwaga: po scałkowaniu amplituda przebiegu wzrasta, tym bardziej, im mniejsza średnica podziału.

[edytuj] Linki zewnętrzne

[1] - Metoda prostokątów

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../c/a/%C5%82/Ca%C5%82kowanie_numeryczne.html"

Kategoria: Metody numeryczne

Całkowanie numeryczne

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Metoda prostokątów

[edytuj] Metoda trapezów

[edytuj] Metoda parabol (Simpsona)

[edytuj] Metody losowe

[edytuj] Przykład - metoda prostokątów

[edytuj] Przykład 2

[edytuj] Linki zewnętrzne

Views

nawigacja

techniczne

zmiany

Szukaj

W innych językach