Rovnice kontinuity

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Rovnice kontinuity je ve fyzice velmi důležitou rovnicí související zpravidla se zachováním nějaké (zpravidla skalární) veličiny v prostoru. Příkladem je rovnice kontinuity v popisu ustáleného proudění kapaliny, hustoty elektrického proudu, v teorii relativity rovnice kontinuity pro čtyřproud, nebo v kvantové mechanice, kde rovnice kontinuity vyjadřuje zachování hustoty amplitudy pravděpodobnosti v prostoru.

Pod pojmem rovnice kontinuity se rovněž často rozumí zjednodušený tvar rovnice kontinuity pro ideální kapalinu protékající za ustáleného proudění uzavřenou trubicí obecně proměnlivého průřezu S.

Obsah

1 Tvary rovnice kontinuity
2 Odvození rovnice kontinuity
3 Rovnice kontinuity ve středoškolské fyzice
4 Podívejte se také na

[editovat] Tvary rovnice kontinuity

Zde je stručný přehled tvarů rovnice kontinuity v různých aplikacích

Zachovávající se veličina	Běžný tvar rovnice kontinuity
hustota elektrického proudu:	$\nabla \cdot \mathbf{j} + {\partial \rho_\mathrm{el.} \over \partial t} = 0$
hmotnost tekutiny:	$\nabla \cdot \left(\rho_{\mathrm{tek.}}\mathbf{v}\right) + {\partial \rho_\mathrm{tek.} \over \partial t} = 0$
hustota amplitudy pravděpodobnosti vlnové funkce:	$\frac{\hbar}{2 m i} \nabla \cdot \left(\psi^{} \nabla \psi - \psi \nabla \psi^{} \right) + {\partial {\|\psi\|^2} \over \partial t} = 0$
čtyřproud:	${J^{\mu}}_{;\mu}={\left(\rho_0 U^{\mu}\right)}_{;\mu} = 0$

[editovat] Odvození rovnice kontinuity

Rovnici kontinuity lze jednoduše odvodit pomocí Gaussovy věty. Předpokládáme, že se daná veličina (v našem případě uvažujme např. elektrický náboj) zachovává, tedy v daném objemu platí

$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_\Omega \rho\ \mathrm{d}V = - \oint_{\partial \Omega} \mathbf{j} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S},$

tedy že časová změna celkového náboje v objemu $Ω$ je rovna vytečenému (proto znaménko mínus) elektrickému proudu přes povrch objemu $Ω$ značeného $\partial \Omega$ . Ten odpovídá integrálu na pravé straně rovnice.

Nyní aplikujeme na povrchový integrál na pravé straně rovnice Gaussovu větu

$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_\Omega \rho\ \mathrm{d}V = - \int_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{j}\ \mathrm{d}{V}.$

V dalším kroku uvážíme, že za předpokladu, že se oblast $Ω$ nemění, lze prohodit totální časovou derivaci s integrálem a obdržet

$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = \int_\Omega \frac{\partial\rho}{\partial t} \mathrm{d}V = - \int_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{j}\ \mathrm{d}{V} \implies \int_\Omega \left(\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j}\right)\mathrm{d}V = 0.$

Protože tento vztah musí platit pro každou uvažovanou oblast $Ω$ , může být rovnice splněna jen tehdy, vynuluje-li se vnitřek objemového integrálu, tedy

$\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0.$

[editovat] Rovnice kontinuity ve středoškolské fyzice

Rovnice kontinuity je rovnice, která platí pro ustálené proudění ideální kapaliny v uzavřené trubici a popisuje vztah mezi rychlostí proudění v a obsahem průřezu S v jednom místě trubice:

$Q_V = S v = \mbox{konst.}\,$

Z rovnice kontinuity plyne:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{S_2}{S_1}$ ,

neboli poměr rychlostí v₁ a v₂ proudění ve dvou místech je převrácený k poměru obsahů průřezů S₁ a S₂ trubice v těchto místech. Čím užší trubice, tím rychlejší proudění.

Platnost rovnice kontinuity vychází ze zachování stejného objemového průtoku ve všech místech trubice (za podmínky ustáleného proudění ideální kapaliny v uzavřené trubici).

Tyto vztahy lze zobecnit pro stlačitelné kapaliny. Pro stlačitelné kapaliny se mění hustota a proto se nezachovává objemový tok. Veličina která se zachováva je hmotnostní tok. Rovnici kontinuity lze pak zapsat jako

$Q_m = S\rho v = \mbox{konst} \,$ ,