Algebraische Topologie
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Die Algebraische Topologie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das topologische Räume mit Hilfe der Algebra untersucht.
Das Ziel der algebraischen Topologie ist es, topologische Räume zu klassifizieren und zu beschreiben. Die allgemeine Methode dieser Disziplin ist, den topologischen Räumen gewisse invariante algebraische Strukturen (meistens Gruppen oder Ringe) zuzuordnen. Invariant bedeutet in diesem Fall, dass zwei topologischen Räumen, die sich stetig ineinander überführen lassen, die gleiche algebraische Struktur zugeordnet wird. Damit sehen aus der Sicht der algebraischen Topologie zwei homöomorphe Mannigfaltigkeiten gleich aus - man betrachtet in gewisser Weise mit der algebraischen Brille eine vergröberte Version der Objekte, die auf die Details verzichtet, um auf den Kern der Objekte zu stoßen.
Man kann die Methoden sehr abstrakt mit Hilfe der Kategorientheorie beschreiben. Technisch gesprochen handelt es sich um Funktoren von topologischen in algebraische Kategorien.
Es gibt im Wesentlichen zwei wichtige Hilfsmittel der algebraischen Topologie, nämlich die Homologie (bzw. Kohomologie), welche - grob gesprochen - verschieden-dimensionale Löcher in einem topologischen Raum anzeigt, sowie die Homotopie. Hierbei ist allerdings die Homologie einfacher zu handhaben als die Homotopie.
Ein Beispiel für ein bedeutendes Resultat ist das Seifert-van-Kampen-Theorem. Mit diesem Theorem werden bestimmte zweidimensionale Mannigfaltigkeiten klassifiziert.
Ein berühmtes Beispiel einer offenen Fragestellung auf dem Gebiet der algebraischen Topologie war die Poincaré-Vermutung.
