Archimedisches Axiom

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Das sogenannte archimedische Axiom ist nach dem antiken Mathematiker Archimedes benannt, es ist aber älter und wurde schon von Eudoxos von Knidos in seiner Größenlehre formuliert. In moderner Präzisierung lautet es folgendermaßen:

Zu je zwei Größen

y > x > 0

existiert eine natürliche Zahl $n\in \mathbb{N}$ mit

n x > y

Geometrisch lässt sich das Axiom derart interpretieren: Hat man zwei Strecken auf einer Geraden, so kann man die größere von beiden übertreffen, wenn man die kleinere nur oft genug abträgt.

Ein (an)geordneter Körper, in welchem das Archimedische Axiom gilt, heißt archimedisch (an)geordnet.

Für den Körper $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen wird es oft axiomatisch eingeführt. Man kann allerdings auch zuerst die Axiome eines geordneten Körpers und zusätzlich das Supremumsaxiom (Jede nach oben beschränkte Teilmenge des Körpers besitzt ein Supremum) fordern und zeigen, dass daraus bereits das Archimedische Axiom folgt.

[Bearbeiten] Beweis aus dem Supremumsaxiom für einen geordneten Körper

Es sei $x > 0.$

Behauptung: Für jedes $y > x$ gibt es eine natürliche Zahl $n$ , so dass $n x > y$ gilt.

Gegenannahme: Es gibt ein $y > 0$ , so dass $nx\leq y$ für alle natürlichen Zahlen $n .$

Dann ist $y$ eine obere Schranke für $n x$ . Aus dem Supremumsaxiom folgt die Existenz einer kleinsten oberen Schranke $y 0$ . Weil nun $y 0 - x < y 0$ , ist $y 0 - x$ keine obere Schranke, also gibt es eine natürliche Zahl $m$ , so dass

y 0 - x < m x

gilt. Damit ist aber

y 0 < (m + 1) x,

womit die Gegenannahme falsch war und die Behauptung bewiesen ist.

[Bearbeiten] Folgerungen aus dem archimedischen Axiom

Zu jeder Zahl $x\in\mathbb{R}$ gibt es $n_1,n_2\in\mathbb{N}$ , so dass $n 1 > x$ und $- n 2 < x$ . Daraus folgt: Zu jedem $x\in\mathbb{R}$ gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl $n\in\mathbb{Z}$ mit

$n\leq x < n+1$

Dabei wird $n$ mit $\lfloor x\rfloor$ oder $\operatorname{floor}(x)$ bezeichnet. Ebenso existiert eine eindeutig bestimmte Zahl $m\in\mathbb{Z}$ mit

$m-1 < x \leq m$

welche mit $\lceil x\rceil$ oder $\operatorname{ceil}(x)$ bezeichnet wird.

Damit gilt auch: $\forall\epsilon>0 \, \exists n\in\mathbb{N}$ mit $n > 1 / ε$ und daher umgekehrt $1 / n < ε$ .

In der Analysis ist dieser Zusammenhang nützlich, um beispielsweise die Konvergenz oder Divergenz von Folgen nachzuweisen.

[Bearbeiten] Nichtarchimedisch angeordnete Körper

Ein Beispiel für einen angeordneten Körper, in dem das Axiom des Archimedes nicht gilt, ist der in der Nichtstandardanalysis studierte Körper der hyperreellen Zahlen.

Von „http://de.wikipedia.org../../../a/r/c/Archimedisches_Axiom_824b.html“

Kategorien: Analysis | Geometrie | Logik