Аксиома Архимеда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Аксиома Архимеда — аксиома, первоначально сформулированная для отрезков, заключающаяся в том, что, отложив достаточное число раз меньший из двух заданных отрезков, можно покрыть больший из них. Иначе говоря аксиома Архимеда заключается в отсутствии бесконечно малых величин.

В более современной формулировке она выглядит так:

Для абелевой линейно упорядоченной группы справедлива аксиома Архимеда, если для любых двух элементов a,b > 0 существует натуральное число N такое что Na > b.

[править] Примеры

• Аддитивная группа вещественных чисел удовлетворяет аксиоме Архимеда.
• На аддитивной группе можно завести линейный порядок следующим образом если x > x' или x = x' и . Эта группа не удовлетворяет аксиоме Архимеда, так как для любого N, (0,N) < (1,0).

[править] Свойства

• Любая линейно упорядоченная группа удовлетворяющая аксиоме Архимеда является подгруппой аддитивной группы вещественных чисел.

[править] История

Аксиома Архимеда была сформулирована Архимедом в III века до н. э. в сочинении «Шар и цилиндр»; ранее ее применял Евдокс Книдский, поэтому иногда аксиому Архимеда называют аксиомой Евдокса.

Значение аксиомы Архимеда выяснилось с полной отчетливостью после того, как в XIX веке было обнаружено существование величин, по отношению к которым эта аксиома несправедлива (см. нестандартный анализ).