Arkustangens und Arkuskotangens

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Arkustangens und Arkuskotangens sind mathematische Funktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen des Tangens bzw. des Kotangens und damit Arkusfunktionen. Da der Tangens periodisch ist, wird zur Umkehrung der Definitionsbereich von Tangens auf $( - \pi / 2\;,\;\pi / 2 )$ beschränkt. Beim Arkuskotangens erfolgt eine Beschränkung auf $0 \le f(x) \le \pi$

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Eigenschaften
3 Reihenentwicklung
4 Funktionalgleichung
5 Umkehrfunktionen
6 Ableitungen
7 Stammfunktionen
8 Anmerkungen
9 Näherungsweise Berechnung
10 Der "Arkustangens" mit zwei Argumenten (atan2)
11 Siehe auch

[Bearbeiten] Definition

Umkehrfunktion zu Tangens und Kotangens.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Graph der Funktion arctan(x)

Graph der Funktion arccot(x)

	Arkustangens	Arkuskotangens
Definitionsbereich	$-\infty < x < +\infty$	$-\infty < x < \infty$
Wertebereich	$-\frac{\pi}{2} < f(x) < + \frac{\pi}{2}$	$0 < f (x) < π$
Periodizität	keine	keine
Monotonie	streng monoton steigend	streng monoton fallend
Symmetrien	Ungerade Funktion: $arctan( - x) = - arctan x$	Punktsymmetrie zu $(x=0\;,\;y =\frac{\pi}{2})$ $arccot x = π - arccot( - x)$
Asymptoten	$f(x) \to\pm \frac{\pi}{2}$ für $x \to\pm\infty$	$f(x) \to \pi$ für $x \to -\infty$ $f(x) \to 0$ für $x \to + \infty$
Nullstellen	$x = 0$	keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	keine
Extrema	keine	keine
Wendepunkte	$x = 0$	$x = 0$

$x$	$-\infty$	$-\sqrt{3}$	$- 1$	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	$0$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$	$\infty$
$arctan(x)$	$-\frac{\pi}{2}$	$-\frac{\pi}{3}$	$-\frac{\pi}{4}$	$-\frac{\pi}{6}$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$

[Bearbeiten] Reihenentwicklung

Die Taylorreihe des Arkustangens lautet:

$\arctan x=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}= x - \frac13 x^3 + \frac15 x^5 - \frac17 x^7+ \cdots$

Diese Reihe konvergiert genau dann wenn $|x|\le 1$ und $x\neq\pm i$ ist. Der Arkustangens ist allerdings auf ganz $\mathbb{R}$ definiert.

Die Reihenentwicklung kann zur näherungsweisen Berechnung der Zahl π verwendet werden: Die einfachste Formel ist der Spezialfall $x = 1$ , die Leibniz-Formel

$\frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+-\ldots$

Die kompliziertere Formel

$\frac\pi4=4\arctan\frac15-\arctan\frac1{239}$

verwendete John Machin 1706, um die ersten 100 Nachkommastellen von $π$ zu berechnen.

Die Taylorreihe des Arkuskotangens lautet:

$\frac{\pi}{2} - \sum_{k=0}^{\infty} { \frac{(-1)^k}{2k+1} x^{2k+1}}\; = \; \frac{\pi}{2}- x + \frac{1}{3}x^3 - \frac15 x^5 + \frac17 x^7 \cdots$

[Bearbeiten] Funktionalgleichung

Die Arkustangenswerte über 1 lassen sich aus den Werten zwischen 0 und 1 ableiten:

$\arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \arctan x$

Das geht auch mit Werten für $x < 0$ :

$\arctan \frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2} - \arctan x$

[Bearbeiten] Umkehrfunktionen

Tangensfunktion und Kotangensfunktion:

$x = \tan y \,$ $x = \cot y \,$

[Bearbeiten] Ableitungen

Arkustangens:

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^2}$

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arctan(ax+b) = \frac{a}{1+(ax+b)^2}$

Arkuskotangens:

${\arccot}' (x)=-\frac{1}{1+x^2}$ .

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccot(ax+b) = - \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arctan(ax+b)= - \frac{a}{1 + (ax+b)^2}$

[Bearbeiten] Stammfunktionen

Arkustangens:

Der Arkustangens spielt eine wesentliche Rolle bei der symbolischen Integration von Ausdrücken der Form

$\frac1{ax^2+bx+c}.$

Ist die Diskriminante $D = b 2 - 4 a c$ positiv oder null, so kann man eine Stammfunktion mittels Partialbruchzerlegung bestimmen. Ist die Diskriminante negativ, so kann man den Ausdruck durch die Substitution

$u=\frac{2ax+b}{\sqrt{-D}}$

in die Form

$\frac{4a}{-D}\,\frac1{1+u^2}$

bringen; eine Stammfunktion ist also

$\frac2{\sqrt{-D}}\arctan\frac{2ax+b}{\sqrt{-D}}.$

Eine Stammfunktion des Arkustangens selbst ist

$\int \arctan \frac{x}{a} \,\mathrm dx = x \, \arctan \frac{x}{a} - \frac{a}{2} \ln\left(a^2 + x^2\right).$

Arkuskotangens:

$F(x) = x \, \arccot x + \frac{1}{2}\, \ln \left( 1 + x^2 \right) + C$

$\int \arccot \frac{x}{a} \, dx= x \, \arccot \frac{x}{a} + \frac{a}{2} \, \ln(a^2 + x^2)$

[Bearbeiten] Anmerkungen

Arkustangens:

Man kann den Arkustangens durch den komplexen Logarithmus ausdrücken:

$\arctan z=\frac{\ln(1+\mathrm iz)-\ln(1-\mathrm iz)}{2\mathrm i}$

Arkuskotangens:

Man kann den Arkuskotangens durch einen komplexen Logarithmus ausdrücken:

$\arccot z=\frac{\pi}{2}-\frac{\ln(1+\mathrm iz)-\ln(1-\mathrm iz)}{2\mathrm i}$

Zwischen Arkustangens und Arkuskotangens besteht folgende Beziehung:

$\arccot z = \frac{\pi}{2} - \arctan z$

[Bearbeiten] Näherungsweise Berechnung

Es gelten folgende Näherungen:

$\arctan x \approx \frac{3x}{3+x^2}$ für |x| klein

$\arccot x \approx \frac{3x}{3x^2-1}$ für |x| groß

[Bearbeiten] Der "Arkustangens" mit zwei Argumenten (atan2)

Diese Funktion dient bei der Umrechnung von kartesischen Koordinaten $P (x; y)$ in Polarkoordinaten $P(r ; \varphi)$ der Ermittlung des Winkels $\varphi$ . Da der Arkustangens mit einfachem Argument nicht die Möglichkeit bietet, den Winkel im korrekten Quadranten zu ermitteln, und außerdem die Tangensfunktion für einen Funktionswert von $\pm \frac{\pi}{2}$ nicht umkehrbar ist, gibt es in verschiedenen Programmiersprachen (z. B. in C, Fortran) eine Funktion, die mit 2 Argumenten aufgerufen wird. Sie wird üblicherweise mit " $\operatorname{atan2}(y,x)$ " o. ä. bezeichnet.

Die Funktion $\operatorname{atan2}(y,x)$ kann über die folgende Eigenschaft definiert werden: Sind $x, y$ reelle Zahlen und $r=\sqrt{x^2+y^2}$ , so gilt:

$x = r\cdot\cos(\operatorname{atan2}(y,x))$

$y = r\cdot\sin(\operatorname{atan2}(y,x))$

$(r,\operatorname{atan2}(y,x))$ sind hierbei die Polarkoordinaten des Punktes mit den kartesischen Koordinaten $(x, y)$ .

[Bearbeiten] Definition

Eine von mehreren in der Praxis vorkommenden Definitionen:

$\operatorname{atan2}(y,x) := \begin{cases} \arctan\frac{y}{x} & \mathrm{f\ddot ur}\ x > 0\\ \arctan\frac{y}{x} + \pi & \mathrm{f\ddot ur}\ x < 0,\ y \geq 0\\ \arctan\frac{y}{x} - \pi & \mathrm{f\ddot ur}\ x < 0,\ y < 0\\ +\pi/2 & \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y > 0\\ -\pi/2 & \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y < 0\\ 0 & \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y = 0 \end{cases}$