Fonction arctangente

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Représentation graphique

La fonction arctangente est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle ]-½π; ½π[. Notée naguère arctg, elle se note désormais arctan.

Concrètement, si x appartient à ]-½π; ½π[ et y appartient à $\R$ :

$y = \tan x \Leftrightarrow x = \arctan y$

La courbe représentative de la fonction arctan est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle ]-½π; ½π[ par une réflexion d'axe la droite d'équation $y = x$ .

[modifier] Développement en série de Taylor

La série de Taylor de la fonction arctangente est :

$\arctan x=\sum_{j=0}^{\infty} (-1)^j\frac{x^{2j+1}}{2j+1}= x - \frac13 x^3 + \frac15 x^5 - \frac17 x^7+ \cdots$

Cette série entière converge quand $|x|\le 1$ et $x\neq\pm i$ . La fonction arctangente est cependant définie sur tout $\mathbb{R}$ .

Le développement en série peut être utilisé pour effectuer un calcul approché du nombre π : la formule la plus simple est le cas $x = 1$ , appelée formule de Leibniz

$\frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+-\ldots$

La formule plus sophistiquée

$\frac\pi4=4\arctan\frac15-\arctan\frac1{239}$

fut utilisée par John Machin en 1706 pour calculer les 100 premières décimales de $π$ et par William Shanks en 1873 pour calculer les 707 premières décimales, sur lesquelles seules 527 étaient justes.

[modifier] Équation fonctionnelle

De $\arctan \frac{1}{x}$ on peut déduire arctan(x) et inversement :

$\forall x\in{\R_+^*},\ \arctan \frac{1}{x} + \arctan x= \frac{\pi}{2}$

$\forall x\in{\R_-^*},\ \arctan \frac{1}{x} + \arctan x= -\frac{\pi}{2}$

[modifier] Fonction réciproque

Par définition, la réciproque de la fonction arctangente est la fonction tangente :

$\forall x \in \left]-\frac\pi 2;\frac\pi 2\right[,\ y = \arctan x \Leftrightarrow x = \tan y$

[modifier] Dérivée

$\Big(\arctan(x)\Big)' = \frac{1}{1+x^2}$

[modifier] Intégration

La fonction arctangente joue un rôle important dans l'intégration des expressions de la forme

$\frac1{ax^2+bx+c}.$

Si le discriminant $D = b 2 - 4 a c$ est positif ou nul, l'intégration est possible en revenant à une fraction partielle. Si le discriminant est négatif, on peut faire la substitution par

$u=\frac{2ax+b}{\sqrt{|D|}}$