Kreiszahl

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Die Kreiszahl π (pi) ist eine mathematische Konstante; ihr Wert beträgt näherungsweise

$\pi \approx 3{,}14159.$

Sie beschreibt in der Geometrie das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. Dieses Verhältnis ist unabhängig von der Größe des Kreises. Die Kreiszahl wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben pi ( $π$ ) bezeichnet, dem Anfangsbuchstaben des griechischen Wortes perifereia (Randbereich) bzw. perimeter (Umfang). Die Bezeichnung pi ( $π$ ) erschien erstmals 1706 in dem Buch Synopsis palmariorum mathesos des aus Wales stammenden Gelehrten William Jones (1675–1749). Sie wird auch Archimedes-Konstante oder Ludolphsche Zahl (nach Ludolph van Ceulen) genannt.

Pi-Skulptur in Seattle

Inhaltsverzeichnis

1 Mathematische Grunddaten
2 Geschichte der Zahl π – von Schätzungen zur Rekordjagd
3 Moderne Näherungsrechnung und Bestimmung
4 Näherungskonstruktion
5 Formeln, Anwendungen, offene Fragen
6 Sonstiges (für Liebhaber der Zahl π)
7 Literatur
8 Weblinks

Mathematische Grunddaten

Kreis mit eingezeichnetem Mittelpunkt (M), Radius (r) und Durchmesser (d)

Definition

Es existieren mehrere gleichwertige Definitionen für die Kreiszahl $π$ . Gebräuchlich ist etwa die Festlegung als

das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser oder
die Fläche eines Kreises mit dem Radius 1.

Ein Kreis mit einem Durchmesser von 1 hat einen Umfang von π.

In der Analysis ist es zweckmäßiger, zunächst den Kosinus über seine Taylor-Reihe zu definieren und dann die Kreiszahl als

das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus (nach Edmund Landau).

Irrationalität und Transzendenz

Die Zahl $π$ ist eine reelle Zahl, aber keine rationale Zahl. Das heißt, sie kann nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen, also als Bruch geschrieben werden. Dies wurde 1761 (oder 1767) von Johann Heinrich Lambert bewiesen. Tatsächlich ist die Zahl sogar transzendent. Dies bedeutet, dass es kein Polynom mit rationalen Koeffizienten gibt, dessen Nullstelle $π$ ist. Als Konsequenz ergibt sich daraus, dass es unmöglich ist, $π$ nur mit ganzen Zahlen oder Brüchen und Wurzeln auszudrücken. Die Transzendenz von $π$ wurde von Ferdinand von Lindemann 1882 bewiesen. Eine Folge davon ist unter anderem, dass die Quadratur des Kreises nicht möglich ist.

Die ersten 100 Nachkommastellen

Wegen der Irrationalität von $π$ lässt sich die mathematische Konstante in einem Stellenwertsystem nur angenähert ausdrücken. Die ersten 100 Nachkommastellen sind

π

≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 9

Die letzte Ziffer wurde dabei abgerundet.

Kettenbruchentwicklung

Eine andere Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Da $π$ transzendent ist, ist auch diese Darstellung unendlich lang.

Im Gegensatz zur Eulerschen Zahl e konnten aber bislang bei der Kettenbruchdarstellung von $π$ keinerlei Regelmäßigkeiten festgestellt werden.

Die Genauigkeit von 200 Nachkommastellen erhält man mit 194 Teilnennern:

$π$ = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, 1, 2, 2, 6, 3, 5, 1, 1, 6, 8, 1, 7, 1, 2, 3, 7, 1, 2, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 5, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 4, 16, 1, 161, 45, 1, 22, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 24, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 10, 2, 5, 4, 1, 2, 2, 8, 1, 5, 2, 2, 26, 1, 4, 1, 1, 8, 2, 42, 2, 1, 7, 3, 3, 1, 1, 7, 2, 4, 9, 7, 2, 3, 1, 57, 1, 18, 1, 9, 19, 1, 2, 18, 1, 3, 7, 30, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 8, 1, 1, 2, 1, 15, 1, 2, 13, 1, 2, 1, 4, 1, 12, 1, 1, 3, 3, 28, 1, 10, 3, 2, 20, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 5, 3, 2, 1, 6, 1, 4, ...]

Sphärische Geometrie

In der Kugelgeometrie ist der Begriff Kreiszahl nicht gebräuchlich, da das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser in diesem Fall nicht mehr für alle Kreise gleich ist, sondern von deren Größe abhängig ist. Für Kreise mit einem sehr viel kleineren Durchmesser als dem der Kugel, auf deren Oberfläche er „gezeichnet“ wird (Kreis mit 1 m Durchmesser auf der Erdoberfläche), ist diese Abweichung zur normalen euklidischen Geometrie vernachlässigbar klein, für Kreise mit großen Durchmessern muss die Abweichung berücksichtigt werden.

Geschichte der Zahl $π$ – von Schätzungen zur Rekordjagd

Kaum eine andere Zahl hat die Menschen in ihrer Geschichte mehr beschäftigt und fasziniert als die Kreiszahl $π$ . Schon vor den Griechen suchten die Völker nach dieser geheimnisvollen Zahl, und obschon die Schätzungen immer genauer wurden, gelang es erstmals dem griechischen Mathematiker Archimedes um 250 v. Chr., diese Zahl mathematisch zu bändigen. In der weiteren Geschichte wurden die Versuche zur größtmöglichen Annäherung an $π$ phasenweise zu einer regelrechten Rekordjagd, die zuweilen skurrile und auch aufopfernde Züge annahm.

Die alltägliche Praxis drängt zu ersten Schätzungen

Aus praktischen Erwägungen heraus versuchten die Menschen schon in sehr früher Zeit, dem Phänomen Kreis näher zu kommen. Sollten Räder beschlagen werden, war es wichtig zu wissen, welchen Umfang der Beschlag haben musste. Sollte eine Säule mit einem Kranz geschmückt werden, war der Umfang des Kranzes zu bestimmen. Sollte ein Fass mit Wein gefüllt werden, interessierten sich unsere Vorfahren für das nötige Volumen. Oder es sollte, wie die Bibel im ersten Buch der Könige, Kapitel 7, Vers 23 berichtet, ein rundes Becken umspannt werden: Hierauf fertigte er ein kreisrundes Becken an, das von einem Rand bis zum anderen 10 Ellen maß ..., eine Schnur von 30 Ellen umspannte es. Somit wird in der Bibel der Wert für $π$ mit 3 angegeben. Diesen Wert nutzte man auch im alten China, selbst wenn eine einfache Messung durch ein Maßband zeigt, dass $π$ in Wirklichkeit noch etwas größer ist als 3.

Ptolemäus, Geozentrisches Weltbild

Genauer waren die Angaben in Ägypten. Das älteste bekannte Rechenbuch der Welt, das Rechenbuch des Ahmes (auch Papyrus Rhind, 17. Jahrhundert v. Chr.), nennt den Wert (16/9)² = 3,1604... Als Näherung für π benutzten die Babylonier 3+1/8 = 3,125. In Indien benutzte man in den Sulbasutras, den Schnurregeln zur Konstruktion von Altären, den Wert (26/15)² = 3,0044... für $π$ . In dem astronomischen Werk des Ptolemäus, dem Almagest (ca. 100 n.Chr.), finden sich dann bereits Tabellen von Winkelfunktionen, für welche genauere Werte der Zahl $π$ bekannt gewesen sein müssen. Ptolemäus benutzte den Bruch 377/120 = 3,14166...; die Grundlage für diese Berechnung schuf rund 350 Jahre zuvor Archimedes.

Archimedes von Syrakus

Für Archimedes und noch für viele Mathematiker nach ihm war unklar, ob die Berechnung von $π$ nicht doch irgendwann zum Abschluss käme, ob $π$ also eine rationale Zahl sei, was die jahrhundertelange Jagd auf die Zahl verständlich werden lässt. Lange dachte man, es sei nur die richtige Methode zur Berechnung noch nicht gefunden.

Die Möndchen des Hippokrates aus Chios

Erst 1761/1767 konnte Johann Heinrich Lambert die Irrationalität von $π$ beweisen, auch wenn die Mathematiker dies schon lange vermutet hatten. Zwar war den griechischen Philosophen seit dem Satz des Pythagoras mit der Irrationalität von $\sqrt{2}$ die Existenz derartiger Zahlen bekannt, dennoch hatte Archimedes keinen Grund, bei einem Kreis von vornherein eine rationale Darstellbarkeit der Flächenberechnung auszuschließen.

Die Summe der Flächen der grauen „Möndchen“ entspricht der Fläche des rechtwinkligen Dreiecks

Denn es gibt durchaus allseitig krummlinig begrenzte Flächen, die sogar von Kreisteilen eingeschlossen sind, die sich als rationale Zahl darstellen lassen. Bereits vor Archimedes konnte mittels der so genannten Möndchen, die dem griechischen Mathematiker Hippokrates von Chios (um 450 v. Chr.) zugeschrieben werden, gezeigt werden, dass die Flächen dieser Kreisteile rational ausgedrückt werden können. Mit Hilfe des erweiterten Pythagoreischen Lehrsatzes fanden schon die antiken Mathematiker heraus, dass die Summe zweier über den Segmenten der Katheten errichteter Kreisteile identisch mit der Fläche des zugehörigen rechtwinkligen Dreiecks ist.

Die Teildreiecke, die durch die Höhe des Dreiecks gebildet werden sind flächengleich mit den zugehörigen Möndchen über den Katheten, da die Hypotenusenabschnitte $p$ und $q$ im gleichen Verhältnis stehen wie die Radiusquadrate über den Katheten.

Umbeschreibung und Einbeschreibung bis zu 96 Ecken

Häufig versuchten die Forscher, sich mit Vielecken dem Kreis anzunähern und auf diese Weise Näherungen für $π$ zu gewinnen – so auch Archimedes. Archimedes von Syrakus (um 287 v. Chr. bis 212 v. Chr.) war ein antiker griechischer Mathematiker, Physiker und Ingenieur. Er bewies, dass der Umfang eines Kreises sich zu seinem Durchmesser genauso verhält wie die Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius. Mit umbeschriebenen und einbeschriebenen Vielecken bis hin zum 96-Eck berechnete er obere und untere Schranken für den Kreisumfang. Er kam zu der für die damalige Zeit äußerst bedeutsamen Abschätzung, dass das gesuchte Verhältnis etwas kleiner als 3 + 10/70 sein müsse, jedoch größer als 3 + 10/71:

$3{,}1408450 \dots = 3 + \frac{10}{71} <\pi< 3 + \frac{10}{70} = 3{,}1428571 \dots$ .

Archimedes kam über den Bruch $\frac{211875}{67441}$ zu der Annäherung 3,141635.

Die Bezeichnung „ $π$ “ stammt nicht von Archimedes, sondern wurde erst 1706 von dem englischen Mathematiker William Jones in seinem Werk A New Introduction to Mathematics für Archimedes′ Konstante eingeführt; für den Kreisumfang war sie allerdings schon einige Zeit zuvor gebräuchlich. Zum standardisierten endgültigen Durchbruch gelangte der griechische Buchstabe als Bezeichnung der Kreiszahl dann mit seiner Adaption durch Leonhard Euler im Jahr 1734.

Genauer und genauer – von Zu Chongzhi über Ludolph van Ceulen zu John Machin

Wie in manchen anderen gesellschaftlichen und kulturellen Bereichen gab es auch in der Mathematik in den westlichen Kulturen eine sehr lange Zeit der Stagnation nach Ende der Antike und während des Mittelalters. Fortschritte in der Annäherung an $π$ erzielten in dieser Zeit vor allem chinesische und persische Wissenschaftler. Im dritten Jahrhundert bestimmte Liu Hui – ähnlich wie Archimedes – die Schranken 3,1410 und 3,1427. Um 480 berechnete der chinesische Mathematiker und Astronom Zu Chongzhi (430–501) für die Kreiszahl 3,1415926 < $π$ < 3,1415927, also im Grunde die ersten 7 Dezimalstellen exakt. Er kannte auch den fast genauso guten Näherungsbruch 355/113 (das ist der dritte Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung von $π$ ), der in Europa erst im 16. Jahrhundert gefunden wurde. Der persische Wissenschaftler Jamshid Masud Al-Kashi kalkulierte 1424 bereits auf 16 Stellen genau.

John Wallis, 1616–1703

Leonhard Euler, 1707–1783

Im 16. Jahrhundert erwachte dann auch in Europa die Mathematik wieder aus ihrem langen Schlaf. 1596 gelang es Ludolph van Ceulen, die ersten 35 Dezimalstellen von $π$ zu berechnen. Angeblich opferte er 30 Jahre seines Lebens für diese Berechnung. Er war so stolz auf diese Leistung, dass er das Ergebnis auf seinem Grabstein verewigen ließ. Van Ceulen steuerte allerdings noch keine neuen Gedanken zur Berechnung bei. Er rechnete einfach nach der Methode des Archimedes weiter, aber während Archimedes beim 96-Eck aufhörte, führte Ludolph diese bis zum eingeschriebenen 2⁶²-Eck fort. Der Name Ludolphsche Zahl erinnert an seine Leistung.

Der englische Mathematiker John Wallis entwickelte 1655 das nach ihm benannte Wallissche Produkt:

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \dots = \frac{\pi}{2}$ .

Allmählich wurden die Rechnungen komplizierter, Leibniz steuerte 1682 folgende Reihendarstellung bei:

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \dots = \frac{\pi}{4}$ .

Siehe: Kreiszahlberechnung nach Leibniz.

Diese war indischen Mathematikern bereits im 15. Jahrhundert bekannt, Leibniz entdeckte sie für die europäische Mathematik neu und bewies die Konvergenz dieser unendlichen Summe. Die obige Reihe ist auch ein Spezialfall (θ = 1) der Reihenentwicklung des Arcustangens, die der schottische Mathematiker James Gregory in den 1670ern fand:

$\arctan \theta = \theta - \frac{\theta^3}{3} + \frac{\theta^5}{5} - \frac{\theta^7}{7} + \cdots$ .

Sie war Grundlage vieler Approximationen von $π$ in der folgenden Zeit. John Machin berechnete mit seiner Formel von 1706 die ersten 100 Stellen von $π$ . Seine Gleichung

$4 \arctan \left(\frac{1}{5} \right) - \arctan \left(\frac{1}{239} \right) = \frac{\pi}{4}$

lässt sich zusammen mit der taylorschen Reihenentwicklung der Arcustangens-Funktion für schnelle Berechnungen verwenden. Diese Formel lässt sich ableiten, indem man sie in Polarkoordinaten der komplexen Zahlen schreibt, beginnend mit

$(5+i)^{4} \cdot (-239 + i) = -114244-114244 i$ .

Leonhard Euler führte in seiner im Jahre 1748 erschienenen Introductio in Analysin Infinitorum im ersten Bande $π$ bereits auf 148 Stellen genau an.

Johann Heinrich Lambert publizierte 1770 einen Kettenbruch, der heute meist in der Form

$\frac{4}{\pi}=1+\frac{1^2}{3+\frac{2^2}{5+\frac{3^2}{7+\frac{4^2}{9+\frac{5^2}{11+\frac{6^2}{\cdots}}}}}}$

geschrieben wird. Pro Schritt ergeben sich etwa 0,76555 Dezimalstellen, was im Vergleich mit anderen Kettenbrüchen mit Bildungsgesetz hoch ist, sodass sich dieser Kettenbruch besonders gut zur Berechnung von $π$ eignet.

Handwerker benutzten in Zeiten vor Rechenschieber und Taschenrechner die Näherung 22/7 = 3,142857... und berechneten damit vieles im Kopf. Der Fehler gegenüber $π$ beträgt etwa 0,04 %. Für alltägliche praktische Situationen war das völlig ausreichend. Eine andere oft genutzte Näherung war der Bruch 355/113 = 3,1415929..., immerhin auf sieben Stellen genau. Zudem lässt sich dieser Bruch leicht merken, weil die ersten 3 ungeraden Ziffern - jeweils doppelt notiert - in der Mitte gespalten werden. Allen diesen rationalen Näherungswerten für $π$ ist gemeinsam, dass sie partiellen Auswertungen der Kettenbruchentwicklung von $π$ entsprechen, z. B. 22/7 =[3;7], 355/113 = [3;7,15,1].

Keine der bislang entwickelten Formeln konnte zur effizienten Berechnung von Näherungswerten an $π$ dienen, auch die erstaunliche Entdeckung des Inders Srinivasa Ramanujan aus dem Jahr 1914, basierend auf Untersuchungen von elliptischen Funktionen und Modulfunktionen, war dazu noch nicht geeignet:

$\frac{\sqrt{8}}{9801} \cdot\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4 n)! \cdot (1103+26390 n)}{(n!)^{4} \cdot 396^{4 n}} = \frac{1}{\pi}$ .

Weitere Berechnungsformeln:

$\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ... = \frac{\pi^2}{6}$ (Euler)

$\frac{1}{2\cdot3\cdot4} - \frac{1}{4\cdot5\cdot6} + \frac{1}{6\cdot7\cdot8} - + ... = \frac{\pi - 3}{4}$

Moderne Näherungsrechnung und Bestimmung

Bailey-Borwein-Plouffe-Formel

1996 entdeckte David H. Bailey, zusammen mit Peter Borwein und Simon Plouffe, eine neue Reihendarstellung für $π$ :

$\pi = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{16^k}\left(\frac{4}{8k+1} - \frac{2}{8k+4} - \frac{1}{8k+5} - \frac{1}{8k+6}\right)$

Diese Summenformel erlaubt es auf einfache Weise, die $n$ -te Stelle einer binären oder hexadezimalen Darstellung von $π$ zu berechnen, ohne dass zuvor die $n - 1$ vorherigen Ziffernstellen berechnet werden müssen. Baileys Website [1] enthält eine Herleitung des Verfahrens und auch Implementierungen in verschiedenen Programmiersprachen.

Berechnung mittels Flächenformel

Diese Berechnung nutzt den Zusammenhang aus, dass $π$ in der Flächenformel des Kreises enthalten ist, dagegen nicht in der Flächenformel des umschreibenden Quadrats.

Die Formel für den Flächeninhalt des Kreises mit Radius $r$ lautet

A K = π r 2

der Flächeninhalt des Quadrates mit Seitenlänge $2 r$ errechnet sich als

A Q = (2 r) 2

Für das Verhältnis der Flächeninhalte eines Kreises und seines umschreibenden Quadrats ergibt sich also

$\frac{A_K}{A_Q} = \frac{\pi r^2}{(2r)^2} = \frac{\pi}{4}$ .

Damit lässt sich $π$ als das Vierfache dieses Verhältnisses schreiben: $\pi=4\,\frac{A_K}{A_Q}$ .

Programm

Als Beispiel ist ein Algorithmus angegeben, in dem die Flächenformel demonstriert wird, mit der $π$ näherungsweise berechnet werden kann.

Viertelkreis, mit Flächenraster 10x10 angenähert

Man legt dazu über das Quadrat ein Gitter und berechnet für jeden einzelnen Gitterpunkt, ob er auch im Kreis liegt. Das Verhältnis der Gitterpunkte innerhalb des Kreises zu den Gitterpunkten innerhalb des Quadrats wird mit 4 multipliziert. Die Genauigkeit der damit gewonnenen Näherung von $π$ hängt von der Gitterweite ab und wird mittels $r$ kontrolliert. Mit $r = 10$ erhält man z. B. 3,17 und mit $r = 100$ bereits 3,1417. Für das Ergebnis 3,14159 ist allerdings schon $r = 10000$ zu setzen, was sich durch den zweidimensionalen Lösungsansatz auf die Zahl der notwendigen Rechenvorgänge in quadratischer Form niederschlägt.

r = 10000
kreistreffer = 0
quadrattreffer = (2 * r + 1) ^ 2
for y = -r to r
  for x = -r to r
    if x ^ 2 + y ^ 2 <= r ^ 2 then
      kreistreffer = kreistreffer + 1
ausgabe 4 * kreistreffer / quadrattreffer { 3.141549 }

Anmerkung: Das obige Programm ist nicht für die schnellstmögliche Ausführung auf einem realen Computersystem optimiert, sondern aus Gründen der Verständlichkeit so klar wie möglich formuliert worden. Weiterhin ist die Kreisfläche insofern unpräzise bestimmt, als nicht die Koordinaten der Mitte für die jeweiligen Flächeneinheiten benutzt werden, sondern der Flächenrand. Durch die Betrachtung eines Vollkreises, dessen Fläche für die erste und letzte Zeile gegen Null geht, ist die Abweichung für großes $r$ marginal.

Die Konstante Pi ist für den Alltagsgebrauch in Computerprogrammen typischerweise bereits vorberechnet vorhanden, üblicherweise ist der zugehörige Wert dabei mit etwas mehr Stellen angegeben als ihn die leistungsfähigsten Datentypen dieser Computersprache aufnehmen können.

Statistische Bestimmung

Viertelkreis, dessen Fläche durch die Monte-Carlo-Methode angenähert wird.

Eine sehr interessante Methode zur Bestimmung von $π$ ist die statistische Methode. Für die Berechnung lässt man zufällige Punkte auf ein Quadrat „regnen“ und berechnet, ob sie innerhalb oder außerhalb eines eingeschriebenen Kreises liegen. Der Anteil der innen liegenden Punkte ist gleich $π / 4$ .

Diese Methode ist ein Monte-Carlo-Algorithmus; die Genauigkeit der nach einer festen Schrittzahl erreichten Näherung von $π$ lässt sich daher nur mit einer gewissen Irrtumswahrscheinlichkeit angeben. Durch das Gesetz der großen Zahlen steigt jedoch im Mittel die Genauigkeit mit der Schrittzahl.

Der folgende Algorithmus ist in der Programmiersprache Java geschrieben:

public static double berechne_pi(int tropfenzahl) {
  double pi = 0;
  int innerhalb = 0;
  int gesamt = tropfenzahl;

  while (tropfenzahl > 0) { // generiere Tropfen und addiere je nach Zugehörigkeit
    double dotx = 2 * Math.random() - 1;
    double doty = 2 * Math.random() - 1;

    if (dotx*dotx + doty*doty <= 1) {
      // Punkt liegt innerhalb des Kreises
      innerhalb++;
    } else {
      // Punkt liegt außerhalb des Kreises
    }

    tropfenzahl--;
  }

  pi = 4*(double)innerhalb/gesamt;
  return pi;
}

Buffonsches Nadelproblem

Eine weitere auf Wahrscheinlichkeiten beruhende und ungewöhnliche Methode stammt von Georges-Louis Leclerc de Buffon (1707–1788), der sie im Alter von 20 Jahren erfand. Buffon warf Stöcke über die Schulter auf einen gekachelten Fußboden. Anschließend zählte er, wie oft sie die Fugen trafen. Eine praktikablere Variante beschrieb Jakow I. Perelman im Buch „Unterhaltsame Geometrie“. Man nehme eine kurze, ca. 2 cm lange Nadel – oder einen anderen Metallstift mit ähnlicher Länge und Durchmesser, am besten ohne Spitze – und zeichne auf ein Blatt Papier eine Reihe dünner paralleler Striche, die um die doppelte Länge der Nadel voneinander entfernt sind. Dann lässt man die Nadel sehr häufig (mehrere hundert- oder tausendmal) aus einer beliebigen Höhe auf das Blatt fallen und notiert, ob die Nadel eine Linie schneidet oder nicht. Das Berühren eines Striches durch ein Nadelende zählt dabei als Schnittpunkt. Die Division der Gesamtzahl der Nadelwürfe durch die Zahl der Fälle, in denen die Nadel eine Linie geschnitten hat, ergibt im Ergebnis eine Näherung von $π$ . Die Nadel kann dabei auch gebogen oder mehrfach geknickt sein, wobei in diesem Fall auch mehr als ein Schnittpunkt pro Wurf möglich ist und entsprechend gezählt werden muss. In der Mitte des 19. Jahrhunderts kam der Schweizer Astronom Johann Rudolf Wolf durch 5.000 Nadelwürfe auf einen Wert von $π = 3,159$ .

Näherungskonstruktion

Zur Konstruktion der Zahl $π$ gibt es die Näherungskonstruktion von Kochański, mit der man einen Näherungswert der Kreiszahl mit einem Fehler von weniger als 0,002 Prozent bestimmen kann.

Formeln, Anwendungen, offene Fragen

Formeln, die $π$ enthalten

Obwohl das Problem der Quadratur des Kreises ein geometrisches ist, spielt $π$ auch in anderen Bereichen der Mathematik und Physik eine wichtige Rolle.

Formeln der Geometrie

In der Geometrie treten die Eigenschaften von $π$ als Kreiszahl unmittelbar hervor.

Umfang eines Kreises mit Radius $r$ : $U = 2π r$
Fläche eines Kreises mit Radius $r$ : $A = π r 2$
Volumen einer Kugel mit Radius $r$ : $V = \frac{4}{3} \pi r^3$
Oberfläche einer Kugel mit Radius $r$ : $A O = 4π r 2$
Volumen eines Zylinders mit Radius $r$ und Höhe $a$ : $V = r 2 π a$
Volumen eines durch die Rotation der Funktion $f (x)$ um die $x$ -Achse definierten beliebigen Drehkörpers mit den Grenzen $a$ und $b$ : $V = \pi \int_a^b f(x)^2 \mathrm{d}x$
Minkowski-Schranke der Geometrie der Zahlen: $\frac{n!}{n^n}\left(\frac{4}{\pi}\right)^{r_2}\sqrt{|\mathrm{disc}\,K|}$

Formeln der Analysis

Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768–1830

$π$ spielt daneben in vielen mathematischen Zusammenhängen eine Rolle, zum Beispiel bei

unendlichen Reihen: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ (Euler, s. auch Riemannsche ζ-Funktion)
der Gaußschen Glockenkurve: $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \mathrm{d}x = \sqrt\pi$
der Stirling-Formel als Näherung der Fakultät für große $n$ : $n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$
der Fourier-Transformation: $\mathcal{F}f(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i \omega t} \,\mathrm{d} t$
der Eulerschen Identität: $e i π + 1 = 0$

Die Eulersche Identität als Kombination von $π$ , der ebenfalls irrationalen Eulerschen Zahl $e$ , der imaginären Einheit $i$ und der beiden grundlegenden Zahlen 0 und 1 wird als eine der schönsten mathematischen Formeln angesehen.

Formeln der Zahlentheorie

Die relative Häufigkeit, dass zwei zufällig gewählte natürliche Zahlen, die kleiner einer Schranke $M$ sind, teilerfremd sind, strebt mit $M \rightarrow \infty$ gegen $\frac{6}{\pi^2}$ .

Formeln der Physik

In der Physik spielt $π$ neben

der Kreisbewegung: $ω = 2π f$ (Winkelgeschwindigkeit gleich $2π$ mal Umlauffrequenz)

vor allem bei Wellen eine Rolle, da dort $π$ über die Sinus- und Kosinusfunktion eingeht. Somit also zum Beispiel

in der Quantenmechanik: $\Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4 \pi}$ (Heisenbergsche Unschärferelation).
in der Berechnung der Knicklast: $F_K=\frac{\pi^2EI}{s^2}$

Anwendungen, Nutzen heutiger Berechnungen

Die Näherungswerte und -verfahren zur Kreiszahl waren lange Zeit insbesondere für die angewandten Wissenschaften wie etwa im Ingenieurbau sehr wertvoll; die neueren Näherungswerte hingegen haben bereits so viele Stellen, dass ein praktischer Nutzen kaum noch gegeben ist.

Es genügen beispielsweise zur Berechnung des Kreisumfangs auf einen Millimeter Genauigkeit

bei einem Radius von 30 Metern: vier Dezimalstellen von $π$ ,
beim Erdradius: zehn Dezimalstellen,
bei einem Radius mit dem Abstand Erde-Sonne: 15 Dezimalstellen.

Wie viele Stellen sind wohl erforderlich, um den größten in unserem Universum vorstellbaren realen Kreis mit der größten vorstellbaren Genauigkeit zu berechnen? Das Licht des Urknalls in Form der Mikrowellen-Hintergrundstrahlung erreicht uns aus einer Entfernung, die sich als das Produkt des Weltalters (etwa $13\cdot 10^9$ Jahre) mit der Lichtgeschwindigkeit (etwa 300.000 km/s oder $9{,}46\cdot {10}^{15}$ m/a) ergibt, also rund $1{,}3\cdot {10}^{26}$ m. Der Kreis mit diesem Radius hat also einen Umfang von etwa $8{,}17\cdot {10}^{26}$ m. Die kleinste physikalisch sinnvolle Längeneinheit ist die Planck-Länge von etwa 10^-35 m. Der Kreis besteht also aus $8{,}17\cdot {10}^{61}$ Planck-Längen. Um ihn aus dem gegebenen Radius (vorausgesetzt, dieser wäre auf eine Planck-Länge genau bekannt) mit der Genauigkeit von einer Planck-Länge zu berechnen, würden also schon 62 Dezimalstellen von π ausreichen.

Der derzeitige Näherungsrekord liegt bei 1,241 Billionen Stellen.

Einziger heute erkennbarer praktischer Nutzen dieser aufwändigen Rechnungen liegt in der Möglichkeit, die Computer-Hardware und -Software zu testen, da bereits kleine Rechenfehler zu vielen falschen Stellen von $π$ führen würden. Der mathematischen Theorie verhelfen die Berechnungen auf dem Gebiet der Zufallsstatistik zu neuen Erkenntnissen, wie im folgenden Abschnitt beschrieben wird.

Die Zahl $π$ spielt in verschiedenen Zweigen der Mathematik eine wichtige Rolle – nicht nur innerhalb der Geometrie, sondern auch in der Algebra, Analysis, Trigonometrische Funktion und Zahlentheorie.

Offene Fragen

Die zur Zeit drängendste mathematische Frage bezüglich $π$ ist, ob sie eine normale Zahl ist, d. h. ob sie zum Beispiel in einer binären (oder jeder anderen n-ären) Zahlendarstellung jede mögliche Binär- bzw. sonstige Zifferngruppe gleichermaßen enthält – so wie dies die Statistik erwarten ließe, wenn man eine Zahl vollkommen nach dem Zufall erzeugen würde. (Beispielsweise findet sich die dem Wort „wiki“ im ASCII-Code entsprechende Bitfolge 10111010010101101001 ab der 889.356.628. Stelle der Binärdarstellung von $π$ .)

In letzter Konsequenz würde dies beispielsweise bedeuten, dass die Kreiszahl alle bisher und zukünftig geschriebenen Bücher irgendwo in codierter Binär-Form enthalten muss.

Bailey und Crandal zeigten im Jahr 2000, dass die Existenz der oben angegebenen Bailey-Borwein-Plouffe-Formel und ähnlicher Ableitungen belegt, dass die Normalität von $π$ zur Basis 2 (wie auch die von verschiedenen anderen Konstanten) auf eine bestehende Vermutung der Chaostheorie reduziert werden kann. Für weitere Details dazu siehe die Webseite von Bailey.

Physiker der Purdue Universität haben im Jahre 2005 die ersten 100 Millionen Dezimalstellen von $π$ auf ihre Zufälligkeit hin untersucht und mit kommerziellen Zufallszahlengeneratoren verglichen. Der Forscher Ephraim Fischbach und sein Mitarbeiter Shu-Ju Tu konnten dabei keinerlei verborgene Muster in der Zahl $π$ entdecken. Demnach sei nach Ansicht Fischbachs die Zahl $π$ tatsächlich eine gute Quelle für Zufälligkeit. Allerdings schnitten einige Zufallszahlengeneratoren sogar noch besser als $π$ ab.

Sonstiges (für Liebhaber der Zahl $π$ )

Rekorde und Kuriositäten

Der derzeitige Rekord der Berechnung von $π$ wird durch Yasumasa Kanada auf einem HITACHI-Supercomputer mit 1.241.100.000.000 (1,2 Billionen) Stellen gehalten. An der 1.142.905.318.634. Nachkommastelle von $π$ findet man laut Yasumasa Kanada wieder die Folge 314159265358.
Die erste Million Ziffern von $π$ und ihres Kehrwerts $1 / π$ sind als Datei beim Project Gutenberg erhältlich [2]
Freunde der Zahl $π$ gedenken einmal am 14. März der Kreiszahl mit dem $π$ -Tag. Der Grund für die Wahl dieses Tages liegt in der amerikanischen Datumsnotation 3/14. Zum anderen wird ein $π$ -Annäherungstag am 22. Juli gefeiert, mit dem die Annäherung von Archimedes an 22/7 geehrt werden soll
Aus Sternstunden der modernen Mathematik von Keith Devlin: Ein weiteres Beispiel, in dem $π$ überraschend eine Rolle spielt, ist das folgende: Wenn man ein Streichholz auf ein Brett wirft, das durch parallele, jeweils eine Streichholzlänge voneinander entfernte Linien unterteilt ist, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das Streichholz so fällt, dass es eine Linie schneidet, genau $2 / π$ . Dabei handelt es sich um eine Variante des weiter oben beschriebenen Nadelwurfversuchs
Im Jahre 1897 gab es im US-Bundesstaat Indiana einen Gesetzentwurf, mit dem die Zahl $π$ per Gesetz als 3,2 definiert werden sollte. Der Hobbymathematiker Edwin J. Goodwin war sicher, die Quadratur des Kreises gefunden zu haben. Er schlug der Regierung den Handel vor, auf alle Tantiemen aus der Anwendung seiner Entdeckung in der mathematischen Aus- und Weiterbildung zu verzichten, wenn seine Entdeckung zum Gesetz erhoben würde. Erst nach der Aufklärung durch einen „gestandenen“ Mathematiker, der von dem Gesetzesvorhaben zufällig in der Zeitung las, vertagte die zweite Kammer des Parlaments den vom Repräsentantenhaus bereits beschlossenen Entwurf auf unbestimmte Zeit. Das Guinness-Buch der Rekorde kennt diese Geschichte etwas anders: Der ungenaueste Wert von $π$ . Im Jahre 1897 verabschiedete die Generalversammlung von Indiana ein Gesetz (Bill Nr. 246), nach dem der Wert von $π$ de jure vier ist
1853 publizierte William Shanks seine Berechnung der ersten 707 Dezimalstellen von $π$ , alle per Hand berechnet. 92 Jahre später, im Jahre 1945, wurde entdeckt, dass die letzten 180 Stellen falsch waren. (Siehe auch die Tabelle unten, die etwas andere Jahreszahlen angibt)
Die Versionsnummer des Textsatzprogramms TeX von Donald Knuth wird entgegen der üblichen Konventionen der Software-Entwicklung seit den 1990ern so inkrementiert, dass sie sich langsam $π$ annähert. Die aktuelle Version aus dem Jahr 2002 trägt die Nummer 3.141592
Wissenschaftler senden mit Radioteleskopen die Kreiszahl ins Weltall. Sie sind der Meinung, dass andere Zivilisationen diese Zahl kennen müssen, wenn sie das Signal auffangen können
Der aktuelle Rekord im Pi-Vorlesen liegt bei 108.000 Nachkommastellen in 30 Stunden. Der Weltrekordversuch begann am 3. Juni 2005 um 18:00 Uhr und wurde am 5. Juni 2005 pünktlich um 0:00 Uhr erfolgreich beendet. Über 360 freiwillige Leser lasen jeweils 300 Nachkommastellen. Aufgestellt und organisiert wurde der Weltrekord von Lisa Grieb und Svenja Häuser vom Mathematikum in Gießen

Film, Musik und Literatur

1981 wurde Carl Sagans Buch Contact veröffentlicht. Das Buch beschreibt das SETI-Programm zur Suche nach außerirdischer Intelligenz und damit verbundene philosophische Betrachtungen. Es endet mit der fiktiven Beantwortung der Frage, ob das Universum zufällig entstanden ist oder planvoll geschaffen wurde. Die Zahl $π$ spielt für die spannende und im Rahmen der Handlung folgerichtige Antwort die zentrale Rolle
1998 veröffentlichte Darren Aronovsky (Requiem for a Dream) den Film „Pi“, in dem ein mathematisches Genie (Sean Gullette als „Maximilian Cohen“) die Weltformel aus $π$ herausfiltern möchte
Auf dem 2005 erschienenen Doppelalbum Aerial von Kate Bush ist ein Lied der Zahl Pi gewidmet.

Pi-Sport

Hauptartikel: Pi-Sport

Aus dem Lernen von Pi ist ein Sport geworden. Das Memorieren der Zahl Pi gilt als beste Möglichkeit, das Merken langer Zahlen unter Beweis zu stellen. Der inoffizielle Weltrekord im Memorieren von Pi liegt inzwischen (Stand 10/06) bei 100.000 Stellen, aufgestellt von Akira Haraguchi. Der Japaner brach damit seinen ebenfalls noch inoffiziellen alten Rekord von 83.431 Nachkommastellen. Den deutschen Rekord hält Heike Duch mit 5555 Stellen. Für das Memorieren von Pi werden spezielle Mnemotechniken angewandt. Die Technik unterscheidet sich dabei nach Geschmack des Gedächtniskünstlers, seinen Begabungen und der Menge der zu memorierenden Nachkommastellen.

Für das Merken der ersten Ziffern von Pi gibt es einfache Merksysteme.

Siehe hierfür: Einfache Merkregeln

Auf der Jagd nach $π$ – Tabelle

Mathematiker	Jahr	Dezimalstellen
Ägypten, Rechenbuch des Ahmes (Papyrus Rhind)	17. Jahrhundert v. Chr.	1
Archimedes	ca. 250 v. Chr.	3
Zu Chongzhi	ca. 480	7
Jamshid Masud Al-Kashi	ca. 1424	16
Ludolph van Ceulen	1596	35
Jurij Vega	1794	136
William Shanks	1874	527
Levi B. Smith, John W. Wrench	1949	1.120
Daniel Shanks, John W. Wrench	1961	100.265
Yasumasa Kanada, Sayaka Yoshino, Yoshiaki Tamura	1982	16.777.206
Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura, Yoshinobu Kubo	1987	134.217.700
Chudnovskys	1989	1.011.196.691
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi	1997	51.539.600.000
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi	1999	206.158.430.000
Yasumasa Kanada (nicht bestätigt)	2002	1.241.100.000.000

Siehe auch: Wurzel 2

Literatur

David Blatner: Pi, Magie einer Zahl. Rowohlt, Reinbek 2001. ISBN 3-499-61176-7
Jean-Paul Delahaye: $π$ – Die Story. Birkhäuser, Basel 1999. ISBN 3-7643-6056-9
Jörg Arndt, Christoph Haenel: Pi – Algorithmen, Computer, Arithmetik. Springer, Berlin 1998, 2000 (mit CD-ROM). ISBN 3-540-66258-8
Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM. Wiley Interscience, New York 1998. ISBN 047131515X
Keith Devlin: Sternstunden der modernen Mathematik. DTV, München 1992. ISBN 3423330163
Paul Karlson: Vom Zauber der Zahlen. Eine unterhaltsame Mathematik für jedermann. (8., völlig neu überarb. Aufl.). Ullstein, Berlin 1965.
Egmont Colerus: Vom Einmaleins zum Integral. Mathematik für Jedermann. Rowohlt, Reinbek 1974, 1982. ISBN 3-49916-692-5
Heinrich Tietze: Mathematische Probleme. Gelöste und ungelöste mathematische Probleme aus alter und neuer Zeit. Vierzehn Vorlesungen für Laien und Freunde der Mathematik. C. H. Beck, München 1990. ISBN 3-40602-535-8
Jakow I. Perelman: Unterhaltsame Geometrie. Volk und Wissen, Berlin 1962.

Weblinks

Commons: Pi – Bilder, Videos und/oder Audiodateien

Geschichte der Zahl $π$ (englisch)
Namensgebung „ $π$ “ für die Kreiszahl
Archimedes und die Ermittlung der Kreiszahl
The $π$ -Search Page – Ziffernfolgen innerhalb von $π$ suchen (200 Mio. Stellen, sehr schnell)
Webseite Yasumasa Kanadas – (englisch, 200 Millionen Stellen sind auf einem FTP-Server verfügbar und ein Programm mit dem bis zu 32 Millionen Stellen berechnet werden können (multi-platform))
Pibel.de – Auf dieser Website steht die Zahl Pi auf bis zu 10 Millionen Kommastellen zum Download bereit
Weltrangliste der $π$ -Auswendiglerner
Nährungsweise Berechnung von π mit Monte-Carlo-Methode (Applet)

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