Bernoulli-Zahl

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Die Bernoulli-Zahlen B_n sind eine Folge rationaler Zahlen, die in der Mathematik in verschiedenen Zusammenhängen auftreten: als Entwicklungskoeffizienten trigonometrischer, hyperbolischer und anderer Funktionen, in der Euler-Maclaurin-Formel, und in der Zahlentheorie in Zusammenhang mit der Riemannschen Zetafunktion. Die Benennung dieser Zahlen nach ihrem Entdecker Jakob Bernoulli wurde von Abraham de Moivre eingeführt.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Zahlenwerte
3 Reihenentwicklungen für Bernoulli-Zahlen
4 Rekursionsformel
5 Bernoulli-Zahlen und Bernoulli-Polynome
6 Weblinks

[Bearbeiten] Definition

Achtung: In der Literatur werden die Bernoulli-Zahlen in zwei verschiedenen Weisen definiert, die im Folgenden zur Unterscheidung B_n bzw. β_n geschrieben werden.

Die Bernoulli-Zahlen werden am einfachsten als Taylor-Koeffizienten der erzeugenden Funktion x/(e^x − 1) eingeführt: die Reihenentwicklung

$\frac{x}{e^x-1} = 1 - {x\over 2} + B_1 {x^2\over 2!} - B_2{x^4\over 4!} \pm \ldots + {(-1)}^{n+1} B_n {x^{2n}\over (2n)!}\pm \ldots$

beziehungsweise

$\frac{x}{e^x-1} = 1 + \beta_1 {x\over 1!} + \beta_2 {x^2\over 2!} + \ldots + \beta_n {x^{n}\over (n)!} + \ldots$

konvergiert für alle x mit einem Betrag kleiner als 2π.

Bernoulli selbst entdeckte diese Zahlen bei der Summation von Potenzen natürlicher Zahlen, z. B.:

$1 + 2 + ... + (n-1) = {1\over 2} (n-1) n$

$1^2 + 2^2 + ... + (n-1)^2 = {1\over 6} n (n-1) (2n -1)$

Bei der Summation der k-ten Potenzen ist der Koeffizient des linearen Gliedes des Polynoms auf der rechten Seite die Bernoullische Zahl β_k.

[Bearbeiten] Zahlenwerte

Die ersten Bernoulli-Zahlen lauten B₁, B₂, B₃, ... = 1/6, 1/30, 1/42, 1/30, 5/66, 691/2730, 7/6, 3617/510, 43867/798, 174611/330, 854513/138, ... Diese Zahlen finden sich beispielsweise in der Reihenentwicklung des Tangens, Tangens Hyperbolicus oder Cosecans wieder.

In der alternativen Definition ist β₁=-1/2, alle weiteren β mit ungeradem Koeffizienten verschwinden: β_2n+1=0. Die β mit geraden Koeffizienten ergeben sich aus den B_n gemäß B_n=(-1)ⁿ⁺¹β_2n als β₂, β₄, β₆, ... = 1/6, -1/30, 1/42, -1/30, 5/66, ...

Auch wenn die Folge β_n zunächst kleine Zahlenwerte annimmt, geht |β_n| doch schneller gegen Unendlich als eⁿ: So ist β₁₀₀ ≈ -2.838x10⁷⁸ bzw. β₁₀₀₀ ≈ -5.319x10¹⁷⁶⁹.

Für längere Listen siehe unten unter Weblinks.

[Bearbeiten] Reihenentwicklungen für Bernoulli-Zahlen

Die folgenden Reihenentwicklungen liefern die klassischen (im o.g. Sinne) Bernoulli-Zahlen:

$B_n = \frac{ (2n)!} {2^{2n - 1}\pi ^ {2n}} \cdot \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{ k^{2n}}$

$B_n = \frac{ 2 \cdot (2n)!} {(2^{2n} - 1)\cdot\pi ^ {2n}} \cdot \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{ (2k + 1) ^{2n}}$

$B_n = \frac{(2n)!} {(2^{2n - 1} - 1)\cdot\pi ^ {2n}} \cdot \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{ k^{2n}}$

[Bearbeiten] Rekursionsformel

Setzt man $\, \beta_0 = 1$ und $\, \beta_1 = -\frac{1}{2}$ so ergeben sich die Bernoulli-Zahlen $\, \beta_k$ aus der Rekursionformel:
$\sum_{k=0}^n {n + 1\choose k}\beta_k = 0$

Für ungerade Zahlen $\, n \ge 3$ gilt $\, \beta_n = 0$ .

[Bearbeiten] Bernoulli-Zahlen und Bernoulli-Polynome

Die Bernoulli-Polynome sind eine Abbildung $B_k:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ und sind durch folgende Rekursionsgleichungen vollständig charakterisiert: