Числа Бернулли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

B0 = 1

B3 = 0

B5 = 0

B7 = 0

B9 = 0

B11 = 0

B13 = 0

B15 = 0

Числа Бернулли — последовательность рациональных чисел B₀,B₁,B₂,... найденная Я. Бернулли в связи с вычислением суммы одинаковых степеней натуральных чисел:

[править] Формула для чисел Бернулли

Для чисел Бернулли существует следующая реккурентная формула:

[править] Свойства

• Все числа Бернулли с нечетными номерами, кроме B₁, равны нулю, знаки B_2n чередуются.
• Числа Бернулли являются значениями при x = 0 многочленов Бернулли: B_n = B_n(0).

Коэффициентами разложения некоторых элементарных функций в степенные ряды часто служат числа Бернулли. Например:

• Экспоненциальная производящая функция для чисел Бернулли:

,

• ,
• .
• Эйлер указал на связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции Римана ζ(s) при четных s = 2m:

Из чего следует

B_n = − nζ(1 − n) для всех n.

• 

[править] Литература

• Абрамович В. Числа Бернулли, Квант, № 6, 1974;