Chinesischer Restsatz

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Chinesischer Restsatz ist der Name mehrerer ähnlicher Theoreme der abstrakten Algebra und Zahlentheorie.

Inhaltsverzeichnis

1 Simultane Kongruenzen ganzer Zahlen
- 1.1 Teilerfremde Moduln
- 1.2 Allgemeiner Fall
2 Aussage für Hauptidealringe
3 Aussage für allgemeine Ringe

[Bearbeiten] Simultane Kongruenzen ganzer Zahlen

Eine simultane Kongruenz ganzer Zahlen ist ein System von linearen Kongruenzen

$\begin{matrix} x & \equiv & a_1 & \pmod{m_1} \\ x & \equiv & a_2 & \pmod{m_2} \\ & \vdots & & \\ x & \equiv & a_n & \pmod{m_n} \\ \end{matrix}$

für die alle $x$ bestimmt werden sollen, die sämtliche Kongruenzen gleichzeitig lösen. Wenn eine Lösung $x$ existiert, dann sind mit $M : =$ kgV $(m_1, m_2, m_3, \ldots, m_n)$ die Zahlen $x + kM \ (k \in \mathbb{Z})$ genau alle Lösungen. Es kann aber auch sein, dass es gar keine Lösung gibt.

[Bearbeiten] Teilerfremde Moduln

Die Originalform des Chinesischen Restsatzes stammt vom Mathematiker Sun Zi (3. Jhd.) und wurde 1247 von Ch'in Chiu-Shao wiederveröffentlicht. Der Satz trifft eine Aussage über simultane Kongruenzen für den Fall, dass die Moduln teilerfremd sind. Sie lautet:

Seien $m_1, \ldots, m_n$ paarweise teilerfremde ganze Zahlen, dann existiert für jedes Tupel ganzer Zahlen $a_1, \ldots, a_n$ eine ganze Zahl $x$ , die die folgende simultane Kongruenz erfüllt:

$x \equiv a_i \mod m_i$ für $i = 1, \ldots, n$

Alle Lösungen dieser Kongruenz sind kongruent modulo $M := m_1 m_2 m_3 \ldots m_n$ .

Das Produkt $M$ stimmt hier wegen der Teilerfremdheit mit dem kgV überein.

Finden einer Lösung

Eine Lösung $x$ kann man wie folgt ermitteln. Für jedes $i$ sind die Zahlen $m i$ und $M i : = M / m i$ teilerfremd, also kann man z.B. mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus zwei Zahlen $r i$ und $s i$ finden, so dass

$r_i \cdot m_i + s_i \cdot M_i = 1$ .

Setzen wir $e_i := s_i \cdot M_i$ , dann gilt

$e_i \equiv 1 \mod m_i$

$e_i \equiv 0 \mod m_j, \ j \neq i$ .

Die Zahl

$x := \sum_{i=1}^n a_i e_i$

ist dann eine Lösung der simultanen Kongruenz.

Beispiel

Gesucht sei eine ganze Zahl $x$ mit der Eigenschaft

$\begin{matrix} x & \equiv & 2 & \pmod 3 \\ x & \equiv & 3 & \pmod 4 \\ x & \equiv & 2 & \pmod 5 \\ \end{matrix}$

Hier ist $M = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60, \ M_1 = M/3 = 20, \ M_2 = M/4 = 15, \ M_3 = M/5 = 12$ . Mit Hilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus berechnet man

$(-13) \cdot 3 + 2 \cdot 20 = 1$ , also

e 1 = 40

$(-11) \cdot 4 + 3 \cdot 15 = 1$ , also

e 2 = 45

$5 \cdot 5 + (-2) \cdot 12 = 1$ , also

e 3 = - 24

Eine Lösung ist dann $x = 2 \cdot 40 + 3 \cdot 45 + 2 \cdot (-24) = 167$ . Wegen $167 \equiv 47 \mod 60$ sind alle anderen Lösungen also kongruent zu 47 modulo 60.

[Bearbeiten] Allgemeiner Fall

Auch im Fall, dass die Moduln nicht teilerfremd sind, existiert manchmal eine Lösung. Die genaue Bedingung lautet: Eine Lösung der simultanen Kongruenz existiert genau dann, wenn für alle $i \neq j$ gilt:

$a_i \equiv a_j \mod$ ggT

(m i, m j)

Alle Lösungen sind dann kongruent modulo dem kgV der $m i$ .

Eine simultane Kongruenz lässt sich im Falle der Existenz einer Lösung z.B. durch sukzessive Substitution lösen, auch wenn die Moduln nicht teilerfremd sind.

Beispiel

Ein klassisches Rätsel besteht darin, die kleinste natürliche Zahl zu finden, die bei Division durch 2, 3, 4, 5 und 6 jeweils den Rest 1 lässt, und durch 7 teilbar ist. Gesucht ist also die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenz

$\begin{matrix} x & \equiv & 1 & \mod 2 \\ x & \equiv & 1 & \mod 3 \\ x & \equiv & 1 & \mod 4 \\ x & \equiv & 1 & \mod 5 \\ x & \equiv & 1 & \mod 6 \\ x & \equiv & 0 & \mod 7 \\ \end{matrix}$

Da die Moduln nicht teilerfremd sind, kann man nicht direkt den Chinesischen Restsatz (mit Lösungsverfahren) anwenden. Man kann aber die ersten fünf Bedingungen zusammenfassen zu $x \equiv 1 \mod \operatorname{kgV}(2, 3, 4, 5, 6)$ , d.h. zu finden ist eine Lösung von

$\begin{matrix} x & \equiv & 1 & \mod 60 \\ x & \equiv & 0 & \mod 7 \\ \end{matrix}$

Dieses Kongruenzsystem ist nun mit dem Chinesischen Restsatz lösbar.

[Bearbeiten] Aussage für Hauptidealringe

Sei $R$ ein Hauptidealring, dann lautet der Chinesische Restsatz für $R$ so:

Sind $m_1, \ldots, m_n$ paarweise teilerfremd und $m$ ihr Produkt, dann ist der Faktorring $R / m R$ isomorph zum Produktring $R/m_1 R \times \ldots \times R/m_n R$ durch den Isomorphismus

$\begin{matrix} f : & R/mR & \to & R/m_1R \times \ldots \times R/m_nR \\ & x + mR & \mapsto & (x + m_1R, \ldots, x + m_nR) \end{matrix}$

[Bearbeiten] Aussage für allgemeine Ringe

Eine der allgemeinsten Formen des Chinesischen Restsatzes ist eine Formulierung für einen beliebigen Ring $R$ (mit Einselement).

Sind $I_1, \ldots, I_n$ (beidseitige) Ideale, so dass $I i + I j = R$ für $i \neq j$ (man nennt die Ideale dann teilerfremd oder komaximal), und sei $I$ das Produkt der Ideale, dann ist $I$ gleich dem Durchschnitt der $I j$ und der Faktorring $R / I$ ist isomorph zum Produktring $R/I_1 \times \ldots \times R/I_n$ durch den Isomorphismus