Exponentialansatz

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Unter dem Exponentialansatz versteht man in der Mathematik einen Ansatz zur Lösung einer linearen Differentialgleichung. Dabei wird eine reellwertige oder komplexwertige Exponentialfunktion als Lösung der Differentialgleichung angesetzt. Dadurch wird die Differentialgleichung auf eine einfachere Form gebracht. Im Falle einer homogenen linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten ist durch diesen Ansatz nur noch eine algebraische Gleichung zu lösen.

Inhaltsverzeichnis

1 Beispiele
- 1.1 homogene (ungestörte) Differentialgleichung
- 1.2 inhomogene (gestörte) Differentialgleichung
2 Quelle

[Bearbeiten] Beispiele

[Bearbeiten] homogene (ungestörte) Differentialgleichung

Die Idee für diesen Ansatz geht auf Leonhard Euler zurück. Wir setzen in die homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten $y'' + p y' + q y = 0$ die Funktion $y (x) = e α x$ ein. Leitet man diesen Ansatz nach x ab und setzt wieder in die Differentialgleichung ein, dann erhält man $(α 2 + p α + q) e α x = 0$ . Wenn man jetzt die quadratische Gleichung $α 2 + p α + q = 0$ löst, hat man eine Lösung der Differentialgleichung. Es ergeben sich zwei Fälle: Die quadratische Gleichung hat

zwei verschiedene Lösungen $α 1$ und $α 2$ oder
genau eine Lösung $α 0$ .

Im ersten Fall ist die allgemeine (komplexe) Lösung der Differentialgleichung $y(x)=C_1e^{\alpha_1x}+C_2e^{\alpha_2x}$ , im zweiten Fall $y(x)=C_1e^{\alpha_0x}+C_2xe^{\alpha_0x}$ .

Dieses Verfahren lässt sich auf homogene lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung übertragen. Durch den Ansatz $y (x) = e α x$ wird die Differentialgleichung n-ter Ordnung zu einem Polynom n-ten Grades in der Unbekannten $α$ , dem charakteristischen Polynom der Differentialgleichung. Die Nullstellen dieses Polynoms sind die Eigenwerte der Differentialgleichung.

[Bearbeiten] inhomogene (gestörte) Differentialgleichung

Ist die Störfunktion eine Exponentialfunktion $s (x) = B e β x$ , dann kann man eine spezielle Lösung durch den Ansatz $y (x) = k e β x$ gewinnen, falls $β$ keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms $P (α)$ ist. In diesem Fall ist $k=\frac{B}{P(\beta)}$ . Ist $β$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms mit der Vielfachheit $v$ , dann führt der Ansatz $y p (x) = x v k e β x$ auf eine spezielle (partikuläre) Lösung, die allgemeine Lösung ergibt sich durch Lösen der homogenen Differentialgleichung.