Familie (Mathematik)

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In der Mathematik bedeutet der Begriff Familie formal dasselbe wie Funktion. Der Unterschied liegt allein in der Schreib- und Sprechweise.

Inhaltsverzeichnis 1 Gegenüberstellung Familie/Funktion 2 Beispiele für Familien und Anwendungssituationen 3 Vor- und Nachteile der Index-Notation 4 Literatur

[Bearbeiten] Gegenüberstellung Familie/Funktion

Schematisch lassen sich die beiden Schreibweisen so gegenüberstellen:

Funktion	Familie
f(i)	ai
Quelle	Indexmenge I
Bild	Familie von Elementen aus R
Einschränkung f | J	Teilfamilie mit

Allgemeiner gesprochen gibt es drei Interpretationen von linkstotalen und rechtseindeutigen Relationen, nämlich als:

• Funktion (Abbildung von I nach A),
• Belegung (von A durch I),
• Indizierung (A indiziert durch I).

Eine Familie ist die Indizierungsinterpretation einer Funktion gepaart mit einer speziellen Notation, bei der kein spezielles Funktionssymbol wie bei der Abbildungsnotation benutzt wird.

Die Betonung liegt hier auf Interpretation. Es werden hier keine neuen mathematischen Begriffe eingeführt, sondern nur alternative Sichtweisen des gleichen formalen Sachverhalts gegeben. Der Sinn dieser alternativen Sichtweisen liegt in einer bequemeren Handhabbarkeit in speziellen Anwendungssituationen, insbesondere beim kalkülmäßigen Rechnen.

[Bearbeiten] Beispiele für Familien und Anwendungssituationen

• Listen: Die Indizes sind . (Listen werden oftmals auch endliche Folgen genannt.). Siehe auch: Tupel
• Folgen: Die Indizes sind die natürlichen Zahlen .
• Matrizen: Die Indizes sind das Produkt zweier Listen, etwa einer n-Liste (Zeilen genannt) und einer m-Liste (Spalten genannt), .

Typische Anwendung findet die Familien-Schreibweise bei:

• Summe und Produkt von Zahlen.
• Summe und Produkt von Matrizen.
• Durchschnitt und Vereinigung von Mengen.

Oftmals wird fälschlicherweise von einer Menge gesprochen, wenn eine Familie gemeint und erforderlich ist. Würde man etwa in der Theorie der Vektorräume den Begriff lineare Unabhängigkeit für Mengen statt Familien von Vektoren definieren, könnte man noch nicht einmal formulieren, dass zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren u.a. dann linear unabhängig sind, wenn sie gleich sind. In dem Fall würden sie zusammen nämlich nur eine einelementige Menge bilden, die dann linear unabhängig ist. Umgekehrt kann man bei Bedarf eine Menge M jederzeit als Familie auffassen, indem man sie durch sich selbst indiziert, also die identische Abbildung betrachtet.

[Bearbeiten] Vor- und Nachteile der Index-Notation

In einfachen Fällen ist der Gebrauch von Indizes beim Rechnen (in Kalkülen) sehr bequem. Allerdings kann man ihn auch zu einem Wasserkopf von Notationen und Konventionen aufblasen, in der man vor lauter Indizes die dahinterliegende begriffliche Mathematik (die sich besser in der Morphismendarstellung erfassen lässt) nicht mehr erkennt. Physiker laufen in ihren Darstellungen manchmal in diese Gefahr hinein, aus der sich der Leser dann kaum mehr retten kann.

[Bearbeiten] Literatur

• Martin Aigner: Kombinatorik.
• Saunders Mac Lane, Garrett Birkhoff: Algebra.