Halmazrendszer

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Halmazrendszeren a matematikában többféle, de sok tekintetben hasonló dolgot érthetünk:

A naiv halmazelméletben szokás halmazrendszer vagy halmazcsalád néven beszélni olyan halmazokról, melyeknek elemei mind halmazok; erre a kétértelműség fellépte miatt alkalmazzuk inkább szigorúan a halmazcsalád elnevezést;
Szűkebb értelemben vett halmazrendszeren (a szakirodalomban gyakran indexezett vagy indexelt halmazrendszer néven fordul elő) olyan „rendezett multihalmazt” érthetünk ("rendezett" = az elemek sorrendje is számít^[1]; "multihalmaz" = az elemek ismétlődhetnek, többször is előfordulhatnak), melynek elemei is halmazok. Rövidebben, halmazrendszeren egyszerűen egy olyan elemrendszert (tkp. „vektort”) érthetünk, melynek elemei is halmazok.

A precíz definíció a következő:

Legyen $I$ tetszőleges halmaz, az ún. indexhalmaz (ez gyakran a pozitív egészek $\mathbb{N} ^{+}$ halmaza). Legyen továbbá $\mathcal{U}$ másik tetszőleges halmaz, és jelölje részhalmazai halmazát, azaz hatványhalmazát $\mathcal{P} \left( U \right)$ -val jelöljük.

Ekkor valamely $f: I \mapsto \mathcal{P} \left( U \right)$ függvényt az $\mathcal{U}$ halmaz $I$ indexhalmaz feletti halmazrendszerének nevezzük, és $\left( \mathcal{U} _{i} \right) _{ i \in I}$ -vel jelöljük. Tehát $\forall i \in I : \ \mathcal{U} _{i} \subseteq \mathcal{U}$ . Az $\mathcal{U} _{i}$ részhalmazokat a (halmaz)rendszer tagjainak nevezzük. Helytelen egy kissé, de általában nem okoz félreértést az $\mathcal{R} := \left( \mathcal{U} _{i} \right) _{ i \in I}$ rendszer egy $\mathcal{U} _{i}$ tagja esetén az $\mathcal{U} _{i} \in \left( \mathcal{U} _{i} \right) _{ i \in I}$ , azaz az $\mathcal{U} _{i} \in \mathcal{R}$ jelölés használata.

A halmazrendszerek azonosíthatóak a hipergráfokkal (minden halmazrendszernek megfelel egy és csak egy hipergráf, és viszont).

Tartalomjegyzék

1 Megjegyzések a definíciókról: összefüggések és eltérések
2 A halmazrendszerek jelentősége
3 Halmazműveletek
4 Izomorfia
5 Hivatkozások
- 5.1 Jegyzetek
6 Lásd még
- 6.1 Irodalom

[szerkesztés] Megjegyzések a definíciókról: összefüggések és eltérések

A halmazrendszer fogalma a halmazelmélet fogalmaira úgy alapítható precízen, ha függvényként (elemrendszerként) értelmezzük. E modellben az elemeknek - tag(halmaz)oknak - indexekből és taghalmazokból álló rendezett párok felelnek meg, ezért a taghalmazok „sorrendjére” nézve megkülönböztető erővel bír utóbbiaknak a különböző indexekkel való párosítása még akkor is, ha az indexhalmazon semmiféle rendezés, belső reláció nincs értelmezve. Ugyanezen ok, az eltérő indexek miatt ugyanazon taghalmaz "többször is előfordulhat", nevezetesen ha a,b∈I is a≠b, akkor az (a,A), (b,A) pár különböző, noha „ugyanazt a taghalmazt reprezentálja”.

A halmazcsalád és (indexelt) halmazrendszer fogalma tehát különbözik: a halmazcsalád "rendezetlen" halmazok egy halmaza, míg a halmazrendszer bonyolultabb struktúra: "rendezett" halmazok (konkrétan, elem-halmaz-párosok) egy halmaza. A szakirodalomban e két terminus jelentése még ingadozó, sok szerző nemcsak egymástól eltérően használja a "halmazrendszer" kifejezést, de néhányan tudatában is vannak az eltéréseknek; ti. a szakkifejezések rögzítetlenségére kifejezetten fel is hívják a figyelmet ^[2]

[szerkesztés] A halmazrendszerek jelentősége

A halmazrendszerek igen hasznosak - persze az olyan halmazelméleti alkalmazásokon túl, mint a kiválasztási axióma formalizálása - a matematikai analízisben, mert már a valós számok halmazának bizonyos gyakori felépítési módjaihoz is sokszor van szükség végtelen sok halmazzal végzett műveletekre (unió, metszet). Az ilyesfajta alkalmazásokon kívül elsősorban a kombinatorika foglalkozik a halmazrendszerekkel, utóbbi esetben persze leginkább véges indexhalmazú és véges taghalmazokkal rendelkező rendszerek jönnek szóba.

[szerkesztés] Halmazműveletek

A halmazrendszerekkel különféle műveletek végezhetőek, pl.

Unió / Egyesítés: $\bigcup \left( \mathcal{R} \right)$ $=$ $\bigcup_{i \in I} U _{i}$ $=$ $\left\{ x \in \mathcal{U} \ \mathcal{j} \ \exist i \in I : x \in U_{i} \right\}$
Metszet: $\bigcap \left( \mathcal{R} \right)$ $=$ $\bigcap_{i \in I} U _{i}$ $=$ $\left\{ x \in \mathcal{U} \ \mathcal{j} \ \forall i \in I : x \in U_{i} \right\}$ .
Diszjunkt unió vagy szimmetrikus differencia: az unió definíciójában az egzisztenciális kvantort unicit egzisztenciális kvantorra ( $\exist !$ = „létezik pontosan egy ... ”) kell cserélni;

Ezen műveletekkel bővebben az unió, a metszet és a halmazműveletek cikkekben foglalkozunk.

Számos fogalom sokkal kényelmesebben és ugyanakkor precízebben leírható a második felfogásban definiált halmazrendszerek segítségével, mint pusztán halmazcsaládokra hagyatkozva.

[szerkesztés] Izomorfia

Legyen A := (A_i)_i∈I és B := (B_j)_j∈J két, az I ill. J indexhalmazok közti halmazrendszer. Ekkor őket izomorfnak nevezzük, ha van az ∪(A) := A és a ∪(B) :=B halmazok közt olyan φA→B bijekció, melyre igaz, hogy tetszőleges a∈A-ra és i∈I-re akkor és csak akkor igaz a∈A_i, ha φ[a]∈B-hez is található olyan j∈J index, hogy φ[A_i] := {b∈B | ∃a∈A_i : φ(a)=b} = B_j; és hasonló teljesül tetszőleges b∈B esetén is. Röviden szólva, ha van olyan bijekció a rendszerek unióhalmazai közt, hogy az A rendszer tetszőleges indexelt taghalmazának e függvény szerinti "képe" (relációmetszete) a B rendszer egy taghalmaza legyen, és viszont: a B rendszer egy taghalmazának e függvény szerinti képe az A egy taghalmaza legyen.

[szerkesztés] Hivatkozások

[szerkesztés] Jegyzetek

^ A "rendezett" kifejezést itt tehát a naiv halmazelméletben alkalmazott módon használtuk, vö. "rendezett pár", és nem a gyakoribb, analitikus jellegű értelemben: "rendezési relációval ellátott".
^ Hajnal Péter: Halmazrendszerek. Polygon jegyzettár, Polygon kiadó, Szeged, 2002.; 2. old. ISSN 1417-0590.