Fixpunktsatz von Brouwer
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Der Fixpunktsatz von Brouwer ist eine Aussage aus der Mathematik. Er ist benannt nach dem niederländischen Mathematiker Luitzen Egbertus Jan Brouwer.
Der Fixpunktsatz von Brouwer besagt, dass die Vollkugel Dn die Fixpunkteigenschaft hat, also jede stetige Abbildung f der n-dimensionalen Vollkugel in die n-dimensionale Vollkugel einen Fixpunkt besitzt. In Formeln:
Der Satz bietet also eine Existenzaussage für die Lösung reeller, nichtlinearer Gleichungssysteme.
[Bearbeiten] Beweisidee
Mittels des Approximationssatzes von Stone-Weierstraß kann man sich auf C1-Funktionen beschränken.
Nun nimmt man an, f habe keinen Fixpunkt, also müsste die glatte Abbildung 
, die jedem Punkt in der Vollkugel einen Schnittpunkt der Gerade durch x und f(x) mit der Sphäre zuordnet:
wohldefiniert sein. F ist eine Retraktion, d.h. F(x) = x für 
Dies führt man auf einen Widerspruch,indem man zunächst zeigt, dass für 
gilt: dωn − 1 = 0. Dies sieht man leicht ein, da die Determinante der Jacobi-Matrix von F nach dem Satz von der inversen Funktion 0 sein muss.
Also gilt:
nach dem Satz von Stokes. Auf der Sphäre ist F aber die Identität. Damit gilt also (wieder nach dem Satz von Stokes):
.
