Jacobi-Matrix
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Die Jacobi-Matrix (nach Carl Gustav Jacob Jacobi; auch Funktionalmatrix genannt) einer differenzierbaren Funktion 
ist die 
-Matrix sämtlicher erster partieller Ableitungen. Genutzt wird sie z. B. in der näherungsweisen Berechnung/Approximation oder Minimierung mehrdimensionaler Funktionen in der Mathematik.
Die Jacobi-Matrix bildet die Matrix-Darstellung der ersten Ableitung der Funktion f. Sie wird mit Jf, Df oder 
bezeichnet.
Bezeichnet man die Koordinaten im Urbildraum 
mit 
und die Komponentenfunktionen von f mit 
, so lautet die Jacobi-Matrix
,
beziehungsweise ausführlich
Sie kann, wenn man sie für einen Punkt 
ausrechnet, zur Näherung der Funktionswerte von f in der Nähe von p verwendet werden:
Diese affine Abbildung entspricht der Taylor-Approximation erster Ordnung.
Für m = 1 entspricht die Jacobi-Matrix dem Gradienten von f. Je nach Definition des Gradienten, der manchmal als Zeilenvektor und manchmal als Spaltenvektor definiert wird, unterscheidet sich jedoch in diesem Fall die Jacobi-Matrix als Zeilenvektor vom Gradienten.
Ein Beispiel für eine Rechnung mit der Jacobi-Matrix ist die Transformation in Polarkoordinaten.
[Bearbeiten] Jacobideterminante
Die Determinante der Jacobi-Matrix spielt z. B. bei Transformationen von Integralen eine wichtige Rolle und wird Funktionaldeterminante genannt.
Für den Fall m = n ist f eine 
-Abbildung und die Jacobi-Matrix ist quadratisch. Hierfür kann man dann die Jacobi-Determinante berechnen.
Diese Determinante gibt zu einem gegebenen Punkt wichtige Informationen über das Verhalten der Funktion f in der Nähe dieses Punktes. Wenn beispielsweise die Jacobideterminante einer stetig differenzierbaren Funktion in einem Punkt p nicht null ist, so ist die Funktion in einer Umgebung von p invertierbar. Weiterhin gilt, dass bei positiver Determinante in p die Funktion ihre Orientierung beibehält und bei negativer Jacobideterminante die Orientierung umkehrt. Der absolute Wert der Determinante im Punkt p gibt den Wert an, mit dem die Funktion in der Nähe von f expandiert oder schrumpft.
