Diskussion:Fourier-Transformation

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Inhaltsverzeichnis

1 Auslagerung: Dirichlet-Bedingungen
2 Bitte vereinfachte Erklärung hinzufügen
3 Basisfunktionen
4 Warum wird hier die Fourier-Reihe erklärt?
5 Kurz und bündig
6 Warum Fouriertransformation?
7 Völlig unverständlich
8 Kreisfrequenz - Fehler oder mein Unverstand?
9 "Aus der Euler-Formel folgt"???
10 Zeichenfehler?
11 Komplexe Darstllung
12 Anliegen
13 Korrespondenztabelle
14 Fehler in: Varianten der Fourier-Transformation
15 Orthonormalbasis

[Bearbeiten] Auslagerung: Dirichlet-Bedingungen

Bitte eine Quelle dazu angeben, diese Bedingungen sind eine Einschränkung der notwendigen Bedingung, keine Erweiterung oder gar "hinreichend".

Diese Bedingung ist notwendig, aber nicht hinreichend.

Zur sicheren Konvergenz müssen die Dirichlet'schen Bedingungen erfüllt sein:

- f(t) muß betragsmäßig integrierbar sein

- f(t) darf nur eine endliche Anzahl von Minima und Maxima auf jedem endlichen Intervall haben

- f(t) darf nur endlich viele Unstetigkeiten auf jedem endlichen Intervall haben.

--LutzL 13:45, 4. Okt 2005 (CEST)

Um das sinnvoll einzubauen, müsste man auch die Fourier-Reihe formal definieren und könnte dann schön systematisch erklären, was wann wie sinnvoll ist:

Fourier-Reihe

1) Dirichlet, Riemann: In jedem Punkt existieren links- und rechtsseitiger Grenzwert -> Fourier-Reihe konvergiert punktweise gegen gemittelte Funktion. Das eigentliche Theorem, welches stückweise stetige Differenzierbarkeit voraussetzt, müsste unter dem Fourierreihe-Artikel abgehandelt werden.

2) Lebesgue, Abel, Poisson, Cesaro, Fejer: Unitäre Abbildung zwischen dem Funktionsraum $L^2([-\pi,\pi],\mathbb C)$ und dem Folgenraum $\ell^2(\Z,\mathbb C)$

Fourier-Trafo:

1) Riemann, ...: stückweise stetig monoton, beidseitige Grenzwerte, Betrag Riemann-integrierbar -> Vorwärtstransformation ergibt stetige Funktion, Rücktransformation im Sinne eines uneigentlichen Riemann-Integrals möglich und ergibt punktweise die gemittelte Funktion.

2) Lebesgue,...: Unitärer Operator von $L^2(\R,\mathbb C)$ auf sich selbst, eindeutig durch die Integraldarstellung auf $L^2(\R,\mathbb C)\cap L^1(\R,\mathbb C)$ .

Übergang von Fourier-Reihe zur Fourier-Transformation durch Integration der Reihe.

--LutzL 19:32, 6. Okt 2005 (CEST)

Nun: Vorlesung! wird hier wohl nicht ausreichen oder? Argumentieren wir mal:

Die Fouriertrafo entsteht durch eine Grenzwertbildung aus der komplexen Fourierreihe (die Periode der Zeitfunktion geht gegen unendlich)
Für die komplexe Fourierreihe gelten die selben Konvergenzkriterien wie für die "normale" Fourierreihe (vgl. Bronstein - Taschenbuch der Mathematik, Auflage 5, Seite 437 "3. Dirichlet'sche Bedingungen" sowie "Komplexe Darstellung der F-Reihe", selbe Seite)
Durch die Grenzwertbildung werden nichtkonvergente Trafos nicht konvergent und konvergente nicht divergent!

Die von mir aufgeführten Bedingungen sind lediglich andere Darstellungen der unter der angegebenen Quelle angegebenen Bedingungen sind aber äquivalent.

Wers nicht glaubt: http://www.fh-friedberg.de/fachbereiche/e2/telekom-labor/geissler/tf/Kap4.4.pdf Seite 4 ab Zeile 23

Ich möchte hiermit dann um Übernahme bitten. Mir solls ja egal sein! Hab auch noch was unter Basisfunktionen ergänzt!

Bitte Signatur/Account zulegen und mit vier mal Tilde signieren. Insbesondere erscheint dann ein Datum, was zum Nachvollziehen der Diskussion wichtig ist.

Das Skript vom Herrn Geissler ist, mathematisch gesehen, Schrott. Schon von den Begriffen her: Die Existenz des Fourier-Integrals ist etwas anderes als die Darstellbarkeit mittels Fourier-Trafo. Für die Existenz des Fourier-Integrals reicht in der Tat die Messbarkeit, schwächer die stückweise monotone Stetigkeit, und die absolute Integrierbarkeit (die Integration setzt die Messbarkeit voraus) aus. Für die Darstellbarkeit ist aber die Existenz der inversen Fourier-Transformation notwendig, d.h. dass die Fourier-Transformierte ebenfalls jene Dirichlet-Bedingungen erfüllt. Das ist nicht immer gegeben. Und dann kommt aus heiterem Himmel der Dirac-Stoß, womöglich noch als "Zeit"-Funktion. Und das im 21. Jahrhundert;-).

Zu Deinen Punkten: 1.) ist schlichtweg falsch. Wie soll denn der Grenzprozess aussehen? Konvergenz in welchem Sinne? 2.) ist mathematisch gesehen trivial, und für die punktweise Konvergenz der Fourier-Reihenentwicklung braucht es in der Tat die Dirichlet-Bedingungen, sogar noch etwas schärfer: Die Funktion muss stückweise stetig differenzierbar sein. 3.) ist allgemein falsch. Das Vertauschen von Grenzwerten ist eine äußerst heikle Sache, es sei an den Satz von Fubini oder das Cauchy-Produkt von Zahlenreihen erinnert.--LutzL 09:12, 5. Okt 2005 (CEST)

Dann sollte ich das jetzt mal n paar Profs zeigen ;-) 80.143.230.106 21:08, 5. Okt 2005 (CEST)

Ich habe nicht gesagt, dass es grundsätzlich falsch ist. Nur: Im Bronstein wird in wenigen Zeilen eine korrekte Aussage getroffen in dem Skript ist auf 2 Seiten überhaupt keine Aussage erkennbar (wir reden über Existenz und Invertierbarkeit). Was das Rechnen mit der Fourier-Transformation angeht und die weiteren Anwendungen, so sieht das Skript wieder freundlicher aus. Warum Ingenieure unbedingt mit Distributionen, die sie nicht ordentlich erklärt bekommen, hantieren müssen, werde ich wohl nie verstehen. Warum muss ein gewichteter Dirac-Kamm mit einer Rechteck-Funktion gefaltet werden, reicht es nicht, einfache eine Treppenfunktion mit entsprechenden Stufenhöhen zu konstruieren?--LutzL 09:36, 6. Okt 2005 (CEST)

(1) Ich vermute mal, daß das Problem dadurchentsteht, daß in der Digitaltechnik lediglich mit abgetasteten Werten gearbeitet wird. Ein Stufenfunktion entspricht nur bedingt dem Bild einer abgetasteten Funktion.

(2) Nunja, also zumindest was die Regelungstechnik angeht, kommen wir wohl um den Dirac-Stoß nicht rum, spielt doch die Impulsantwort und der daraus resultierende Frequenzgang eines Systems eine grundlegende Rolle. Distributionen an sich sind da wohl nicht so wichtig. Lediglich der Dirac-Stoß nimmt eine herrausragende Bedeutung ein... Da haben wir dann unser Dilemma: Was MUSS man wissen und was kostet nur Zeit. 80.143.230.136 14:54, 6. Okt 2005 (CEST)

(1) Eine Summe gewichteter Dirac-Distributionen ist gar nicht vorstellbar, lebt in einem überabzählbaren Raum. Was ist an einer Folge so schlimm, nicht modisch genug? Außerdem bezog ich mich auf eine Stelle im Skript, wo genau eine solche Treppenfunktion gebaut wird.

(2) Man kann die Impulsantwort auch einfach als Integrationskern oder Faltungskern definieren. Um zu zeigen, dass dieser eindeutig bestimmt ist, und wie er praktisch gemessen werden kann, ist der Aufwand in beiden Ansätzen gleichhoch, jedoch muss für die Dirac-Distribution nunmal sowas wie ein Raum von Testfunktionen definiert werden. Du glaubst Dir etwas unter Dirac-Stoß vorstellen zu können, weil Du diesen Glauben gelernt hast. Aber kannst Du auch erklären, was das ist? Z.B. um die Rechenregel der Substitution zu rechtfertigen?--LutzL 19:32, 6. Okt 2005 (CEST)

Verstehen? Wir haben uns darauf geeinigt, daß wir das glauben, akzeptieren oder wie auch immer... Von vorstellen und erklären sind wir weit entfernt! Laß es am Zeitdruck liegen oder an sonst was. Man bekommt es vorgesetzt und gut ist. Verständnis wäre schon ohne die Komplexität, allein aus Zeitgründen, ein Luxus den wir wohl nicht genießen durfen... 80.143.198.134 20:18, 6. Okt 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Bitte vereinfachte Erklärung hinzufügen

Ich wünsche mir zu diesem Artikel eine einfache Erklärung sowie ein paar einfache Anwendungsbeispiele der Fouriertransformation, die auch für solche Leute verständlich sind, die nicht (mehr) täglich mit Gleichungen arbeiten.

--GeorgScholz 08:47, 21. Jul 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Basisfunktionen

Das folgende ist grob falsch:

(Zitat Beginn)

Die Fourier-Transformation ist eine Integraltransformation, die eine Funktion in Sinus- und Kosinus-Bestandteile (Basisfunktionen) zerlegt, das heißt in eine Summe von Sinus- oder Kosinusfunktionen verschiedener Frequenz, Phase und Amplitude.

(Zitat Ende)

Basisfunktionen der Fouriertransformation sind Exponentialschwingungen:

$e^{i \omega t}\,$ . Diese werden nicht summiert, sondern integriert:

$f(t)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i \omega t} \,d \omega$

Sinus- und Kosinusschwingungen gehören zur reellen Fourierreihe.

Akropolit 17:07, 22. Nov 2004 (CET)

Wenn Du so einen Bock findest, dann verbessere das doch bitte direkt. Viele Gruesse --DaTroll 17:09, 22. Nov 2004 (CET)

Nunja. Durch die Trafo wird eine funktion in die komplexe Ebene übertragen. Für jede Frequenz läßt sich hier ein komplexer Fuktionswert finden. Komplexe Zahlen können sowohl in der Polar- als auch in der "Normal"Darstellung angegeben werden... $r_{(\omega)}e^{j\varphi_{(\omega)}}=r_{(\omega)}\left(\cos\varphi_{(\omega)}+j\sin\varphi_{(\omega)}\right)$

=> daraus folgt, daß auch bei der Fouriertransformation das Signal als eine Summe vonn unendlich vielen Kosinus- und Sinusschwingungen angesehen werden kann.

Was bitte wolltest Du sagen? Dass Du nicht weißt, was Integration bedeutet? Durch die Fourier-Transformation wird, wie es in der Einleitung steht, jeder Funktion, die bestimmte Bedingungen erfüllt, eine weitere, komplexwertige Funktion zugeordnet, kein diffuses Etwas in der Gaußschen Zahlenebene. Eine Summe von unendlich etwas ist eine Reihe, eine Reihe mit Sinus- und Kosinus-Funktionen ist periodisch oder quasi-periodisch und somit nicht absolut integrabel. Außerdem kann man schon mit Fourier-Reihen Funktionen bauen, die den sog. Dirichlet-Bedingungen widersprechen. Deshalb hat der Herr Cantor ja überhaupt mit Mengenlehre und modernem Funktionenbegriff angefangen.--LutzL 09:26, 5. Okt 2005 (CEST)

Ähhh ja. Hmmm, was habe ich da nur gedacht? Ich hab da wohl was anderes geschrieben als gedacht... Sorry, das mit der Integration weiß ich selbst ;-) 80.143.230.106 21:11, 5. Okt 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Warum wird hier die Fourier-Reihe erklärt?

Die Inhalte zur Fourierreihe gehören nicht hier her. Diese Inhalte auslagern in Fourierreihe!

Akropolit 17:07, 22. Nov 2004 (CET)

Dieser Artikel ist so angelegt, dass er auf alle Varianten der Fourier-Transformation/-Reihe eingeht (auch auf die schwammigen Bezeichnungen), und auf die verallgemeinerte Transformation. Es wäre nicht gut diese Übersicht hier zu zerstückeln. Als Einzelartikel gibt es die Fourierreihe, die kontinuierliche Fourier-Transformation und die Diskrete Fourier-Transformation mit Beispielen. --Marcel Wiesweg 18:47, 23. Nov 2004 (CET)

Ich sehe hier trotzdem keinen Grund, wieso die Fourierreihen gross erklaert werden muessen, insbesondere wenn das im Artikel Fourierreihe nicht gemacht wird. Das ist fuer mich eine voellige Fehlkonzeption. Viele Gruesse --DaTroll 15:41, 17. Mär 2005 (CET)

[Bearbeiten] Kurz und bündig

Kurz und bündig scheint mir gar nicht mehr kurz und bündig. Vielleicht bis auf die ersten zwei Gleichungen nach kontinuierliche Fourier-Transformation verschieben und explizit auf diesen Artikel hinweisen? --Marcel Wiesweg 18:47, 23. Nov 2004 (CET)

[Bearbeiten] Warum Fouriertransformation?

Die Theorie ist jetzt klar - aber wie kann ich die Fouriertransformation anwenden, dass sie dem Menschen was bringt? Warum verwendet man die FT bei MP3, was kann ein Nachrichtentechniker mit einer Fourier-Transformation machen?

Kann jemand praktische Beispiele für die FT nennen, und kurz umschreiben, wie sie einen Prozess verbessert?

Danke, --Abdull 12:25, 27. Nov 2004 (CET)

[Bearbeiten] Völlig unverständlich

Der Artikel versagt eindeutig beim Oma-Test. Vielleicht sollte erstmal kurz für Laien ganz doof erklärt werden, was es mit der Fourier-Transformation auf sich hat - sowas ist mit Bildern und einfachen Beispielen auch möglich. -- 217.231.150.165 23:38, 25. Jan 2005 (CET)

[Bearbeiten] Kreisfrequenz - Fehler oder mein Unverstand?

Im Abschnitt 3.1 befindet sich der Satz

Die einzelnen Schwingungen haben die Kreisfrequenz  $n ω$ , also die Frequenz  $n ω / 2π$ .

Müsste die Frequenz dann nicht $n\cdot 2\pi$ oder so sein, weil hier nur die Kreisfrequenz aufgelöst wird? Zumindest, dass $ω$ nach der Auflösung der Kreisfrequenz noch drin ist, macht mich stutzig. --Dunkeltron 13:25, 17. Mär 2005 (CET)

Nee, das ist alles ok so. Denn f=2*pi*Kreisfrequenz. Hier steht nur zusätzlich das n (in der Kreisfrequenz, und damit auch in der Frequenz)--Jdiemer 14:26, 17. Mär 2005 (CET)

Danke! - supper schnelle Antwort. Jetzt hat mein Unverständnis allerdings noch Bestand: Ist

ω

ein beliebiger Faktor oder wie ist das definiert? Wäre ein Hinweis im Artikel sinnvoll oder albern? --Dunkeltron 15:21, 17. Mär 2005 (CET)

Nein, ω ist das übliche Formelzeichen für die Kreisfrequenz. Ich habe eine entsprechende Bemerkung im Artikel Kreisfrequenz plaziert, ich denke das genügt, es muss hier nicht wiederholt werden. Lass dich nicht verwirren: in der Summe hat jeder Kosinus ne andere Kreisfrequenz, nämlich n*ω (streng genommen könnte man schreiben $n \cdot \omega_0$ )...--Jdiemer 18:13, 17. Mär 2005 (CET)

Jetzt ist der Groschen gefallen? Gestern wollte/konnte ich es offenbar nicht sehen. Manchmal hilft es, ein bisschen Abstand zu nehmen. Danke für die helfenden Worte :)--Dunkeltron 11:30, 18. Mär 2005 (CET)

[Bearbeiten] "Aus der Euler-Formel folgt"???

Ich habe ja versucht, den Hinweis in 3.1

Aus der Euler-Formel folgt  und ,

wörtlich zu nehmen. Ich weiß, dass Eingangs der Hinweis auf Schulmathematik erwähnt wurde. Trotzdem hätte ein Hinweis auf die Definition von sin und cos über die Exponentialfunktion zumindest bei mir sehr genützt. Die Herleitung ist für mich hingegen nicht offenbar. Wenn ich nicht falsch liege, würde ich das gerne hinzufügen. --Dunkeltron 15:32, 17. Mär 2005 (CET)

Das fällt auch wirklich eher unter "Kenntnisse im Rechnen mit komplexen Zahlen", z.B.: cos a = Re ( cos a + i sin a ) = Re ( e^(ia) ), und der Realteil einer komplexen Zahl z ist u.a. Re(z) = 1/2 ( z + konjugiert-komplex z). Hat man sin und cos über die Exponentialfunktion definiert, folgt daraus einfach die Euler-Formel, hat man die Euler-Formel, bekommt man diese Definition von sin und cos. Du hast natürlich recht, dass das im Artikel sehr schnell geht. Ich habe mal einen Hinweis eingefügt, schau mal ob das reicht --Marcel Wiesweg 23:39, 19. Mär 2005 (CET)

[Bearbeiten] Zeichenfehler?

Nochmals eine Frage zu 3.1: Bei folgendem $f(t) = a_0 + a_1 \cos(\omega t) +b_1\sin(\omega t)+\ldots + a_N \cos(N \omega t) + b_N\sin(N\omega t) = a_0+\sum_{n=1}^N (a_n \cos(n \omega t) - b_n\sin(n\omega t)).$ handelt es sich doch nur um die Summendarstellung. Dann muss doch hinten $= a_0+\sum_{n=1}^N (a_n \cos(n \omega t) + b_n\sin(n\omega t)).$ bei rauskommen, oder? Scheint mir trivial, aber vielleicht habe ich ja was übersehen. --Dunkeltron 16:23, 17. Mär 2005 (CET)

Der Schritt davor enthält das (richtige) Minus, der Schritt danach versteckt auch, die ausgeschriebene Summe müsste falsch sein. Ich habe sie mal entfernt, scheint mehr zu verwirren als zu helfen. --Marcel Wiesweg 23:39, 19. Mär 2005 (CET)

[Bearbeiten] Komplexe Darstllung

Der nullte Koeffizient muß c0 = a0/2 sein, sonst paßt die ganze Summation nicht.

[Bearbeiten] Anliegen

Ich möchte mich dem Anliegen von GeorgScholz anschließen! So versteht man nur Bahnhof.

Auch ich kann mich diesem Anliegen nur anschließen!! Ich fände auch eine Definition der Fourier -Transformation entlang der Imaginären Achse und nicht der Reellen Achse sinvoller um die Zusammenhänge zwischen Laplace und Fourier-Transformation herauszustellen. Als Herleitung würde ich die Existenz der FT für Eigenfunktionen von LTI Sytemen (e^pt) verwenden ... was meint Ihr? Iznogood 14:38, 1. Sep 2005 (CEST)

Häää?? Obwohl ich vor Jahren dies mal in der Uni durchnahm und sogar damit gearbeitet habe kann ich dem nur Zustimmen. Das mag alles Mathematisch korrekt sein, aber welcher "normale Mensch", also jemand der nicht im Wissenschaftlichen Bereich tätig ist oder mit Formeln ständig zu tun hat soll hier heruas etwas verstehen können? Wie bereits vorgeschlagen fehlt hier eine Allgemein Erklärung und Beispiele. Und dies am besten am Anfang, bevor sich jemand wie ich :-) durch Seiten und Seiten von Formeln "geblättert" hat. Ein witere Vorschlag, manchmal sagen Bilder mehr wie tausend Worte. Beispiel zeitlicher Frequenzverlauf einer aufgenommenen Stimme (so wia man sie am Osziloskop sehen würde) -> Ansicht des daraus berechneten Frequenzspektrums. Ich tät es ja selber machen, nur leider bin noch nicheinmal mehr firm genug die hier genannten Erläuterungen zu verstehen.

Ich hab mal eine "Überarbeiten gesetzt", da dies ja schon mehrmal in der Diskussion aufkam. --217.224.235.189 09:16, 21. Mär 2006 (CET)

Schließe mich an. Ich wollte nur kurz wissen wozu man das gebrauchen kann. Aber leider wird wird nur erklärt wie man das benutzt. (oder ich bin zu blöd es rauszulesen)

Ich glaube, der Artikel ist okay, obwohl er für Laien völlig unverständlich ist. All eure Anliegen werden im Artikel Fourieranalyse ausführlich und verständlich behandelt. Dieser Artikel enthält lediglich den mathematischen Unterbau dazu und ist daher zwingend abstrakt. Ich habe einen Hinweis an den Anfang des Artikels eingefügt. --Nü 10:39, 3. Apr 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Korrespondenztabelle

Argh, hier gabs doch mal ne Tabelle mit den Fourier-Korrespondenzen, wieso find ich die jetzt nicht? Bitte wieder einfügen oder den Link posten. Danke. --DB1BMN 17:43, 22. Apr 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Fehler in: Varianten der Fourier-Transformation

Diesen Punkt gibt es 2 Mal (1 und 3). Des weiteren frage ich mich, warum im Text bei "3 Varianten der Fourier-Transformation" unter "3." von unperiodischen Vorgängen und in der übersichtlichen Tabelle bei der diskreten Fourier-Transformation von einer periodischen Periodizität von f gesprochen wird. Ist dies ein Fehler?

[Bearbeiten] Orthonormalbasis

Zitat aus dem Abschnitt Allgemeine Betrachtung:

Gegeben sei das vollständige Basissystem B.
Man kann jede Funktion aus dem Funktionenraum als Linearkombination der Basisfunktionen b_n darstellen:

In dem Artikel zur Linearkombination wird selbige ausschließlich für endliche Summen definiert. Wenig später kommt in Text allerdings diese Stelle:

Deshalb lässt sich nicht unbedingt jedes Element des Raums durch eine endliche, wohl aber eine unendliche Summe darstellen.

Man sollte also im Falle einer Orthonormalbasis vielleicht nicht von einer Darstellung durch Linearkombination sprechen, sondern von der Summe abzählbar vieler Vielfacher der Basisvektoren. Oder meint man mit einer Linearkombination nicht immer eine endliche Summe? --Drizzd 11:45, 7. Feb. 2007 (CET)

Hi, dieser Artikel läßt an vielen Stellen zu wünschen oder zu kürzen übrig. Der Punkt ist richtig, allerdings ist Summe auch was endliches, man müsste von Reihenentwicklung reden.--LutzL 12:59, 7. Feb. 2007 (CET)

Von „http://de.wikipedia.org../../../f/o/u/Diskussion%7EFourier-Transformation_2995.html“