Frequenzmodulation

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Die Frequenzmodulation (FM) ist ein Modulationsverfahren, bei welchem die Trägerfrequenz durch das zu übertragende Signal beeinflusst wird. Es wird zusätzlich der Phasenwinkel $φ$ _T beeinflusst. Die Frequenzmodulation ist eine Winkelmodulation und verwandt mit der Phasenmodulation. Die Frequenzmodulation ermöglicht gegenüber der Amplitudenmodulation einen höheren Dynamikumfang des Informationssignals. Weiterhin ist sie weniger anfällig gegenüber Störungen. Das Verfahren wurde von J. R. Carson schon 1922 mathematisch korrekt untersucht und von Edwin Howard Armstrong zuerst praktisch umgesetzt.

Gegenüberstellung von Amplituden- und Frequenzmodulation

[Bearbeiten] Modulation

Moduliertes Signal f(t), Momentanfrequenz f(t) und Momentanphasenwinkel $φ$ (t)

Die Frequenzmodulation kann mit einem abstimmbaren Schwingkreis erzeugt werden, der zum Beispiel anstelle eines Kondensators eine Kapazitätsdiode enthält. An die Kathode dieser Diode führt man die Signalspannung. Die Diode ändert ihre Kapazität durch diese Spannung und der Schwingkreis damit seine Resonanzfrequenz.

[Bearbeiten] Demodulation

Vor der Demodulation muss die Amplitude des FM-Signals konstant gehalten („begrenzt“) werden, um etwaige Amplitudenänderungen, die durch Störungen auf dem Übertragungsweg entstehen können, zu beseitigen. Dieses ist möglich, da in der Amplitude keine Informationen enthalten sind. Ein FM-Signal wird meistens nicht unmittelbar demoduliert, sondern zuvor in eine Amplituden- oder Pulsmodulation umgewandelt, die dann demoduliert wird. Die für diese beiden Schritte konzipierten Schaltungen werden als Diskriminator bezeichnet und unterteilen sich in Flanken-, Phasen- und Verhältnisdiskriminator sowie Zähldiskriminator. Beim „Koinzidenzdemodulator“ wird aus dem frequenzmodulierten Signal ein phasenmoduliertes Signal gebildet, das dann demoduliert werden kann. Eine weitere Möglichkeit ist der PLL-Demodulator. Durch Phasenvergleich des modulierten Signals mit dem Signal eines lokalen Oszillators erhält man eine Regelspannung entsprechend der Abweichung. Mit dieser Regelspannung führt man gleichzeitig den Oszillator nach (Automatic Frequency Control).

[Bearbeiten] Kenngrößen der Frequenzmodulation

Die Änderung der Trägerfrequenz bezeichnet man mit Δf_T (auch Frequenzhub oder kurz Hub genannt), die Änderung des Phasenwinkels des Trägers mit $\Delta \varphi_T$ und f_S bezeichnet diesen auch als Modulationsindex η. Dabei gilt für den Modulationsindex folgende Beziehung:

$\eta =\frac{\Delta f_T}{f_S}$

wobei f_S die höchste zu übertragende Nutzsignalfrequenz darstellt (Bandbreite des Nutzsignals).

Für die Bandbreite des frequenzmodulierten Signals gilt näherungsweise die Carson-Formel:

$B_{10\,%} = 2\cdot(\Delta f_T+f_S) = 2 \cdot ((\eta + 1) \cdot f_S)$
(bei einem Modulationsindex η größer 1).

Hierbei werden alle Spektrallinien bis 10 % der Amplitude des Trägers erfasst. Berücksichtigt man Spektrallinien bis 1 % der Trägeramplitude, so ergibt sich (ebenfalls als Carson-Formel bezeichnet):

$B_{1\,%} = 2\cdot(\Delta f_T+2\ f_S)$
(bei einem Modulationsindex η größer 1).

Als konkretes Beispiel für die dargestellten Kenngrößen sei der frequenzmodulierte UKW-Hörfunk angegeben: Dabei wird bei Monoprogrammen mit einem Frequenzhub Δf_T = 75 kHz und einer Grenzfrequenz des Audiosignals von f_S = 15 kHz gearbeitet. Damit ergibt sich beim UKW-Hörfunk ein Modulationsindex η = 5 und eine benötigte Bandbreite B_{10 %} = 180 kHz im UKW-Band. (Bei UKW-Stereo-Hörfunk inklusive dem Datensignal des Radio Data Systems (RDS) liegt die Basisbandbreite bei f_S = 60 kHz und die benötigte UKW-Bandbreite bei knapp 400 kHz. Benachbarte UKW-Stereo-Sender müssen daher mindestens um 400 kHz versetzt senden um sich nicht gegenseitig zu stören.)

[Bearbeiten] Veranschaulichung der Frequenzmodulation

Das erste Diagramm zeigt ein frequenzmoduliertes Signal sowie gestrichelt das Informationssignal. Der Träger hat im Beispiel die 15-fache Frequenz des Signals, das Signal ist ein einfacher Kosinus. Man erkennt, dass dort, wo der Momentanwert der Spannung des Signals am niedrigsten ist, die Frequenz des modulierten Signals gleichfalls am niedrigsten ist. Während des Nullpunktdurchlaufs des Informationssignals hat der modulierte Träger die selbe Frequenz wie der unmodulierte Träger. Die Frequenz des Informationssignals ist davon abhängig, wie oft es pro Sekunde zu einer Frequenzänderung des Trägers kommt. Die Amplitude des Signals ist abhängig davon wie groß die Frequenzänderung (Hub) ist. Je öfter pro Sekunde sich die Frequenz des Trägers ändert, desto größer ist die Frequenz des Informationssignals. Je größer der Hub, desto größer ist die Amplitude des Informationssignals. Je größer die Amplitude und/oder Frequenz des Informationssignals, desto größer ist die benötigte Bandbreite.

Im zweiten Diagramm ist die Änderung der Frequenz des Trägers in Abhängigkeit von obigem Signal dargestellt, gestrichelt der unmodulierte Träger. Das dritte Diagramm zeigt den Phasenwinkel des Trägers in rad. Gestrichelt ist der unmodulierte Träger dargestellt. Der Phasenzeiger des Trägers dreht sich fortlaufend, deswegen steigt der Graph auch bei unmoduliertem Signal. Die durchgezogene Linie stellt den Phasenwinkel des modulierten Signals dar. $\Delta \varphi_T$ ist jedoch nicht proportional zum Momentanwert der Signalspannung. $\Delta \varphi_T$ und $Δ f T$ sind um 90° verschoben.

[Bearbeiten] Frequenzspektrum bei Frequenzmodulation

Besselfunktionen J0, J1, ...

Bei einem frequenzmodulierten Signal entstehen Seitenschwingungen im Abstand der Signalfrequenz von der Trägerfrequenz. Theoretisch entstehen unendlich viele Seitenschwingungen. Praktisch werden Seitenschwingungen kleiner 10 % der Amplitude des unmodulierten Trägers vernachlässigt, daraus ergibt sich die Carson-Formel für die Bandbreite (siehe oben). Die Höhe der einzelnen Seitenschwingungen und damit die Leistungsverteilung in Abhängigkeit von $\Delta \varphi_T$ ermittelt man anhand eines Besselfunktionsdiagramms mit den Modulationsindizes.

Die Gleichung für die einzelnen Komponenten der Frequenzmodulation lautet:

$\begin{matrix} u_{WM}(t) = & \hat{U}_T \cdot [ \\ && J_0(\Delta\varphi)\cdot \cos(\omega_T \cdot t) & \mathrm{(Tr\ddot{a}geranteil)} \\ && -J_1(\Delta\varphi)\cdot \sin((\omega_T - \omega_S) \cdot t) & \textrm{(Anteil\ erste\ Unterschwingung)} \\ && -J_1(\Delta\varphi)\cdot \sin((\omega_T + \omega_S) \cdot t) & \textrm{(Anteil\ erste\ Oberschwingung)} \\ && -J_2(\Delta\varphi)\cdot \sin((\omega_T - 2\,\omega_S) \cdot t) & \textrm{(Anteil\ zweite\ Unterschwingung)} \\ && -J_2(\Delta\varphi)\cdot \sin((\omega_T + 2\,\omega_S) \cdot t) & \textrm{(Anteil\ zweite\ Oberschwingung)} \\ && -J_3(\Delta\varphi)\cdot \sin((\omega_T - 3\,\omega_S) \cdot t) & \textrm{(Anteil\ dritte\ Unterschwingung)} \\ && -J_3(\Delta\varphi)\cdot \sin((\omega_T + 3\,\omega_S) \cdot t) & \textrm{(Anteil\ dritte\ Oberschwingung)} \\ & \ldots ] & \end{matrix}$

Die Faktoren $J_n(\Delta \varphi)$ müssen dabei aus dem Besseldiagramm bei einem gegebenen $\Delta \varphi$ abgelesen werden. Bei bestimmten $\Delta \varphi$ können der Träger oder Seitenschwingungspaare verschwinden.

Anhand dessen ist auch zu sehen, dass bei $\Delta \varphi < 1$ das Leistungsverhältnis zwischen Träger und Seitenschwingungen ungünstig wird.

Da bei Frequenzmodulation aufgrund $\Delta \varphi_T=\textstyle \frac{\Delta f_t}{f_S}$ bei steigender Signalfrequenz $\Delta \varphi_T$ kleiner wird, lassen sich hohe Frequenzen mit Frequenzmodulation im Gegensatz zur Phasenmodulation schlechter übertragen, da die Seitenschwingungsanteile immer kleiner werden. Häufig wendet man bei FM deshalb vor der Modulation eine Preemphasis auf das Signal an, um die hohen Frequenzen anzuheben, was mit einer Deemphasis im Empfänger wieder rückgängig gemacht wird.

[Bearbeiten] Zusammenhang von Frequenzmodulation und Phasenmodulation

Frequenzmodulation und Phasenmodulation hängen mathematisch eng zusammen. Eine Phasenmodulation eines sinusförmigen Trägers kann man sehr einfach ausdrücken. Zunächst der unmodulierte Träger:

$s (t) = sin(ω 0 t + p 0)$

Der Ausdruck $(ω 0 t + p 0)$ bezeichnet die momentane Phase. $ω 0$ ist die Trägerkreisfrequenz, $p 0$ ist eine Konstante, die Phase zum Zeitpunkt $t = 0$ . Wir können die momentane Phase als Funktion der Zeit schreiben: $p (t) = (ω 0 t + p 0)$ .

Nun wird die momentane Phase durch Addition eines Modulators verändert, dadurch entsteht der Ausdruck für eine Phasenmodulation:

$s (t) = sin(ω 0 t + p 0 + M p m (t))$

Dabei bezeichnet $M p$ ist die Modulationstärke und $m (t)$ die modulierende Funktion oder kurz den Modulator. Entsprechend: $p (t) = (ω 0 t + p 0 + M p m (t))$ . Man sieht, dass eine Phasenmodulation mathematisch sehr einfach auszudrücken ist.

Eine Frequenzmodulation setzt aber voraus, dass sich die Frequenz ständig ändert. Dies lässt sich nicht mehr durch einen Term der Form $ω 0 t$ ausdrücken, sondern wir müssen den Begriff der momentanen Kreisfrequenz einführen: $\omega (t) = \frac{d}{dt} p(t)$ . Die momentane Frequenz ist also ganz allgemein die zeitliche Ableitung der Phasenfunktion. Dies ist der Kern des Zusammenhangs zwischen Frequenz- und Phasenmodulation. Betrachten wir unter diesem Gesichtspunkt noch einmal die Phase des unmodulierten Trägers:

$p (t) = ω 0 t + p 0$

Die zeitliche Ableitung ist: $\omega (t) = \frac{d}{dt} (\omega_0 t + p_0) = \omega_0$ . Der neueingeführte Begriff der momentanen Frequenz beinhaltet also auch sinnvoll den Fall konstanter Frequenz. Eine Frequenzmodulation fordert nun, dass sich die momentane Frequenz nach der folgenden Vorschrift verhält: $\omega (t) = \omega_0 + M_f \, m(t)$ . Für die Berechnung der Kurvenform zu jedem Zeitpunkt jedoch benötigen wir nicht die momentane Frequnez, sondern die Phasenfunktion. Wenn die Frequenz die Ableitung der Phase ist, so ist umgekehrt die Phase das Integral der Frequenz:

$p(t)= \int \omega(t)\,\mathrm{d}t$

im Beispiel:

$p(t)= \int (\omega_0 + M_f m(t)) \,\mathrm{d}t) = \omega_0 t+p_0+M_f \int m(t)\,\mathrm{d}t$

Damit erhält man für die Frequenzmodulation folgenden Ausdruck:

$s_f(t)= \sin (\omega_0 t+p_0+M_f \int m(t)\,\mathrm{d}t)$

Der direkte Vergleich mit dem Ausdruck für die Phasenmodulation zeigt:

$s p (t) = sin(ω 0 t + p 0 + M p m (t))$

Die Interpretation dieses Sachverhaltes wird in folgendem Beispiel klar. Setze $m (t) = sin(ω m t + p m)$ , dann erhält man für die Modulationen: $s_f(t)= \sin (\omega_0 t+p_0- \frac{M_f}{\omega_m } \cos(\omega_m t + p_m) )$ und $s p (t) = sin(ω 0 t + p 0 + M p sin(ω m t + p m))$ . Der Phasenhub ist also für die Phasenmodulation immer noch $M p$ , für die Frequenzmodulation erhält man $\frac{M_f}{\omega_m }$ . Die momentane Frequenz ist für die Phasenmodulation $ω 0 + M p ω m cos(ω m t + p m)$ und für die Frequenzmodulation $ω 0 + M f sin(ω m t + p m)$ . In beiden Fällen findet eine Modulation der Phase statt. Allerdings wirkt bei der Frequenzmodulation nicht der Modulator direkt auf die Phase ein, sondern es ist erst das Integral des Modulators zu rechnen. Das Integral hat eine Tiefpasswirkung. Der Phasenhub wird also bei der Frequenzmodulation mit zunehmender Frequenz des Modulators geringer. Umgekehrt wird der Frequenzhub bei der Phasenmodulation mit niedriger werdender Modulatorfrequenz immer geringer.

Bei typischen analogen Oszillatoren mit RC- oder LC-Gliedern treten Differentialgleichungen auf, in denen z. B. Ströme integriert werden. Folglich kommt es mit einfachsten Mitteln immer zu einer Frequenzmodulation. Eine Veränderung der Stellgröße ändert dabei kontrolliert die Frequenz und erst mittelbar die Phase. Eine Phasenmodulation ist dagegen analog sehr schwierig, da meist kein direkter Zugriff auf die Phasenfunktion möglich ist. Bei digitalen Oszillatoren ist beides in einfacher Weise möglich, denn es besteht direkter Zugriff auf den Phasenzeiger.

[Bearbeiten] Modulationsgewinn, rauschenbedingte Empfindlichkeit

Gegenüber einer SSB-AM hat eine FM einen Modulationsgewinn.
Bei zu geringem CNR (Carrier to Noise Ratio) verliert die FM diesen Modulationsgewinn.

Es treten durch „negative Amplituden“ Fehler bei der Bestimmung der Momentanfrequenz auf, die sich in kurzen Nadelimpulsen im Signal äußern. Dieser Verlust des Modulationsgewinnes beginnt unterhalb von 12 dB CNR und ist bei 8 dB CNR weitgehend abgeschlossen. Die „Fischchenbildung“ beim analogen SAT-Empfang sind z. B. auf dieses Problem zurückzuführen.

[Bearbeiten] Anwendung der Frequenzmodulation

[Bearbeiten] Funktechnik

FM ermöglicht eine qualitativ gute, störungsarme drahtlose Übertragung von Rundfunkprogrammen. Sie wird oft auch für den Fernsehton und Sprechfunk genutzt. Bei AM wird durch ein schmalbandiges Filter das Signal vom Rauschen getrennt. Ein FM-Empfänger erhält durch das breitbandige Filter viel mehr Rauschen und Interferenzen. Dass die Qualität trotzdem steigt, liegt daran, dass:

der Modulationsgewinn vor allem niederfrequente Störungen deutlich dämpft
es zu Ausregelungen von durch die Übertragung verursachten Amplitudenschwankungen kommt
kurzfristige Störungen durch Signalbegrenzung reduziert werden
die Sendeleistung optimal genutzt wird, weil diese konstant bleibt
Frequenzgangfehler nach der Demodulation nur geringe nichtlineare Verzerrungen ergeben
Amplitudenfehler bis zu einem gewissen Grad keine Störungen bewirken
Störungen im gleichen Frequenzbereich, nach der Demodulation, nur leichte Störungen erzeugen.

[Bearbeiten] Audio/Video-Technik

Das Videosignal auf Videorekordern und der Ton bei Hifi-Videorekordern ist frequenzmoduliert aufgezeichnet.

[Bearbeiten] Messtechnik

Durch periodische Änderung der Frequenz eines Messgenerators innerhalb eines bestimmten Bereiches kann die Durchlasskennlinie eines Bauelements oder eines ganzen Systems bestimmt werden. Dabei wird der Amplitudengang gegen die Frequenz aufgetragen. Dieser Vorgang wird als Wobbeln bezeichnet.

Da dieses Verfahren ein relative große Bandbreite benötigt, wird es i. A. nur auf Frequenzen im UKW-Bereich eingesetzt. Dadurch kam es zunächst vor allem im englischsprachigen Bereich zur - technisch unkorrekten - Gleichsetzung der Begriffe FM und UKW.

[Bearbeiten] Fernsehtechnik

Die Fernsehnorm SECAM verwendet FM zur Übertragung der Farbinformation.

[Bearbeiten] Digitaltechnik

Durch Frequenzumtastung und ähnliche Verfahren können binäre Informationen kodiert werden und über größere Strecken (zum Beispiel über Telefonleitungen) übertragen werden.

[Bearbeiten] Drucktechnik

Frequenzmodulierte Rasterung: Rasterverfahren, das mit sehr kleinen Bildpunkten gleicher Größe arbeitet. Die Bildwiedergabe wird durch unterschiedlich dichte Streuung der Punkte erreicht. Lichte Bildstellen haben wenig Bildpunkte, tiefe Bildstellen mehr. Im Gegensatz dazu steuert das klassische amplitudenmodulierte Raster die Bildwiedergabe durch Variation der Punktgrößen und Rasterwinkel. FM-Raster ermöglichen eine fotorealistische Halbtonwiedergabe und eine detailreichere Wiedergabe, selbst auf Druckern mit geringer Auflösung. Moiré-Effekte werden vermieden. Auch die Auflösung der Vorlagen können bei vergleichbarer Ausdruckqualität niedriger sein als bei amplitudenmodulierten Rastern. Ein „unruhiges“ Bild kann in glatten Flächen, homogenen Rasterflächen oder Verläufen entstehen.

[Bearbeiten] Musik

Hauptartikel: FM-Synthese

Eine Frequenzmodulation war schon bei den frühesten analogen Modularsynthesizern (um 1960) zur Erzeugung recht komplexer Klänge möglich. Bei der Umsetzung in den digitalen Bereich stellte man später fest, dass es viel günstiger ist, eine Phasenmodulation zu verwenden. Dies macht einen erheblichen klanglichen Unterschied aus. Ein Grund dafür wurde oben schon genannt, es ist der mit steigender Modulatorfrequenz bei FM schwindende Phasenhub, der bei PM selbstverständlich konstant bleibt. Bei PM bleibt also die Stärke der Partialtöne auch bei Änderung der Modulatorfrequenz konstant, dies vereinfacht die Handhabung. Auch treten bei PM schwer zu kontrollierende Frequenzabweichungen nicht auf, da kein direkter Zugriff auf die Frequenz erfolgt. Dies macht die Programmierung von Klängen mittels der PM gegenüber der FM für den Musiker wesentlich einfacher. Allerdings stellt man fest, dass ein Vibrato mit sinkender Modulatorfrequenz bei der PM immer schwächer wird.

Nur aus historischen Gründen wurde die Bezeichnung FM z. B. für die bekannten Geräte der Firma Yamaha (DX7 usw.) weiterhin verwendet.

[Bearbeiten] Auftreten der Frequenzmodulation in der Natur

Frequenzmodulation bestimmt auch den charakteristischen Klang von Klangkörpern, die eine ausgedehnte Fläche haben (z. B. Glocken, Gongs, Röhren, Platten, Bleche) im Unterschied zu eindimensionalen Schwingkörpern (Saiten, Orgelpfeifen).

[Bearbeiten] Anschauliche Erklärung

Ein Metallblech hat eine gewisse Steifheit, die es dem Versuch, es zu Verbiegen, entgegensetzt. Durch wellenförmige Formen kann man diese Steifheit quer zu den Wellen (aber nicht längs) vergrößern (z. B. ein Wellblech als Dachabdeckung). Breitet sich eine Schallwelle über ein solches Blech aus, entstehen und verschwinden solche Wellen-Strukturen periodisch. Eine senkrecht dazu verlaufende Welle wird also genau in diesem Rhythmus ein steiferes oder weicheres Medium vorfinden, ihre Frequenz wird sich also aufgrund der daraus resultierenden unterschiedlichen Fortpflanzungsgeschwindigkeit im Rhythmus der ersten Welle ändern.

[Bearbeiten] Kurzbezeichnungen

F1 - Frequenzumtastung
F2 - frequenzmodulierte Telegrafie
F3 - frequenzmodulierte Übertragung analoger Signale (zum Beispiel von Sprache und Musik)

[Bearbeiten] Siehe auch

en:Carson bandwidth rule
J.R. Carson: Notes on the theory of modulation, In: Proc. IRE, vol. 10, no. 1 (Feb. 1922), Seite 57-64.

[Bearbeiten] Weblinks

Von „http://de.wikipedia.org../../../f/r/e/Frequenzmodulation.html“

Kategorien: Modulation (Technik) | Frequenz