Geodäte
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Eine Geodäte (Pl. Geodäten), auch Geodätische, geodätische Linie oder geodätischer Weg genannt, ist die lokal kürzeste Verbindung zweier Punkte.
Im Euklidischem Raum sind Geodäten stets Geraden. Relevant ist der Begriff "Geodäte" erst in gekrümmten Räumen (Mannigfaltigkeiten), wie zum Beispiel auf einer Kugeloberfläche oder in der gekrümmten Raumzeit der Allgemeinen Relativitätstheorie.
Die Einschränkung lokal in der obigen Definition bedeutet, dass eine Geodäte durch keine infinitesimale Änderung verkürzt werden kann; sie muss aber nicht den global kürzesten Weg darstellen. Dementsprechend legen zwei voneinander verschiedene Punkte auf der Erdoberfläche stets mindestens zwei Geodäten fest: den kürzeren Teil des Großkreises, und den längeren Teil, der im Extremfall fast ein volles Mal um die Erde herum führen kann. Betrachten wir allerdings zwei Punkte, die sich auf einer Kugeloberfläche diametral gegenüberliegen (wie etwa Nord- und Südpol), dann finden wir sogar unendlich viele Geodäten, die beide verbinden (Längengrade).
- Eine Geodäte auf der (als Kugel genäherten) Erdoberfläche ist stets Teil eines Großkreises; daran orientieren sich transkontinentale Flug- und Schifffahrtsrouten (siehe Orthodrome).
- In der elementaren Differentialgeometrie ist eine Geodäte ein Weg auf einer Fläche, bei dem überall die Hauptnormale mit der Flächennormale zusammenfällt. Diese Bedingung ist genau dann erfüllt, wenn in jedem Punkt die geodätische Krümmung gleich 0 ist.
- In der modernen Sprache der riemannschen Geometrie sind Geodäten γ durch eine Differentialgleichung charakterisiert:
-
- Dabei bezeichnet
den Levi-Civita-Zusammenhang.
- In der "klassischen" Sprache der Differentialgeometrie, die in der allgemeinen Relativitätstheorie benutzt wird, lautet diese Differentialgleichung:
-
- Dabei sind die
die Christoffelsymbole und x eine lokale Koordinatendarstellung des entsprechenden Weges.
