Geodeet (wiskunde)

Van Wikipedia

In de differentiaalmeetkunde is een geodeet een kromme die plaatselijk de afstand tussen twee punten minimaliseert. Ze veralgemeent het klassieke begrip rechte tot gekromde ruimten.

Inhoud

1 Definitie
2 Eigenschappen
3 Voorbeelden
4 Veralgemeningen
5 Verband met mechanica en relativiteit

[bewerk] Definitie

Zij $f:[0,a]\to M$ een continu differentieerbare kromme (regulier, d.w.z. met snelheid nergens 0) op een Riemann-variëteit. De kromme is geodetisch of een geodeet als ze haar eigen snelheidsvector $df\over dt$ parallel transporteert. Symbolisch kan dit als volgt geformuleerd worden:

$\frac{D}{dt}\dot f(t) = \nabla_{\dot f(t)}\dot f(t) = 0$

waar $\nabla$ de Levi-Civita-connectie van de variëteit aanduidt. In termen van lokale coördinaten $x i$ luidt deze differentiaalvergelijking:

${d^2 f^i\over dt^2}+\Gamma^i_{jk}{df^j\over dt}{df^k\over dt}=0$

waar $\Gamma^i_{jk}$ de Christoffelsymbolen zijn, en we de sommatieconventie van Einstein hanteren, d.w.z. dat we sommeren over alle $j$ en $k,$ en dat de vergelijking geldt voor elke $i$ afzonderlijk.

[bewerk] Eigenschappen

De snelheid van een geodeet heeft constante grootte.

Elke raakvector verschillend van de nulvector is de snelheidsvector van precies één geodeet. Dit volgt uit algemene beschouwingen over de oplosbaarheid van gewone differentiaalvergelijkingen. Op een volledige variëteit kunnen deze geodeten onbeperkt verlengd worden.

Elke samenhangende Riemannse variëteit wordt een metrische ruimte door als afstand tussen twee punten te definiëren: het infimum van de lengten van alle krommen die deze twee punten verbinden. Met die definitie is een geodeet lokaal de kortste afstand tussen twee punten, d.w.z. elk punt heeft een voldoende kleine omgeving waarbinnen de afstand van dat punt tot eender welk ander punt, gemeten via een geodeet door beide punten, de kortst mogelijke is. Globaal meten geodeten niet altijd de kortste afstand, vooral niet in positief gekromde stukken van de variëteit. Zo is bijvoorbeeld de evenaar op een ideale wereldbol een geodeet, maar de reisweg, in vogelvlucht over de evenaar, van Centraal-Afrika over Indonesië naar Peru, is lang niet de kortst mogelijke.

[bewerk] Voorbeelden

In de Euclidische ruimte $\mathbb{R}^n$ zijn de geodeten de rechte lijnen met lineaire parametrisatie.

Op het gewone boloppervlak (de sfeer) zijn de grote cirkels de geodeten.

[bewerk] Veralgemeningen

Als $M$ slechts een pseudo-Riemannse variëteit is (d.w.z. dat de metrische tensor niet noodzakelijk positief definiet is), dan definieert men een geodeet aan de hand van bovenstaande differentiaalvergelijkingen zonder te eisen dat de afstand geminimaliseerd wordt.

In een willekeurige metrische ruimte kan men geodeet noemen: elke kromme die lokaal de afstand minimaliseert. Op een samenhangende Riemannse variëteit vallen de twee begrippen samen.

[bewerk] Verband met mechanica en relativiteit

Geodeten zijn de extremaalkrommen voor de "energiefunctionaal" (eigenlijk: actiefunctionaal)

$E(f)=\frac{1}{2}\int g(\dot f(t),\dot f(t))\,dt$

In de formulering van de analytische mechanica door Joseph-Louis Lagrange beschrijven geodeten de baan van een deeltje waarop geen uitwendige kracht werkt, een zgn. vrij deeltje.

In het bijzonder zijn hogervermelde differentiaalvergelijkingen de bewegingsvergelijkingen voor vrije deeltjes of lichtstralen in de algemene relativiteitstheorie.

Categorie: Meetkunde

Geodeet (wiskunde)

Van Wikipedia

Inhoud

[bewerk] Definitie

[bewerk] Eigenschappen

[bewerk] Voorbeelden

[bewerk] Veralgemeningen

[bewerk] Verband met mechanica en relativiteit

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen