GPS-Technologie

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Beim Global Positioning System (GPS) wird der Ort des Empfängers (genauer der Ort der Empfangsantenne) mit Hilfe der Entfernung zu mehren Satelliten bestimmt. Ein Satellit reicht nicht, denn bei einer gegebenen Entfernung zu einem Satelliten kann sich der Empfänger irgendwo auf einer Kugeloberfläche mit dem Radius der Entfernung befinden, in deren Mittelpunkt der Satellit ist.

Wenn weitere Informationen bekannt sind, engt sich die Unbestimmtheit des Ortes ein. Wenn bekannt ist, dass der Empfänger auf der Oberfläche der Erdkugel ist, so kann sich der Empfänger nur auf dem Kreis befinden, der die Schnittlinie Erdkugel-Entfernungskugel ist. Ist bekannt, dass sich Sendeort und Empfänger auf einer Ebene befinden, ist ein Kreis die Schnittlinie der Kugeloberfläche mit der Ebene.

Bei zwei Entfernungen und zwei Kugelmittelpunkten ist der mögliche Ort des Empfänger schon eingeschränkt, da der Empfänger sich nur an Orten befinden kann, die sich gleichzeitig auf beiden Kugelflächen befinden. Diese Orte sind die Schnittlinie der beiden Kugeloberflächen. Die Schnittlinie zweier Kugeloberflächen ist ein Kreis im Raum. Kommt eine weitere Entfernung mit einem weiteren Kugelmittelpunkt hinzu, so ist der Empfängerort der Ort, wo sich alle drei Kugeloberflächen schneiden, denn nur an diesem Ort (ggf. auch zwei Orte) hat der Empfänger zu allen gegebenen Kugelmittelpunkten (Satellitenorte) die gegebenen Entfernungen.

Rechnerisch drückt sich das in einem kartesischen Koordinatensystem so aus: in diesem Koordinatensystem wird jeder Ort durch die Angabe von drei Koordinaten eindeutig bestimmt. Da für den gesuchten Ort dementsprechend drei Ortskoordinaten bestimmt werden müssen, sind drei Gleichungen erforderlich, um die drei unbekannten Ortskoordinaten zu bestimmen. Die erforderlichen drei Gleichungen ergeben sich aus den Entfernungen zu den drei Kugelmittelpunkten (Satelliten).

Die Lösung der Gleichungen ist in realen Fällen immer möglich. Würden beliebige Orte und Entfernungen vorgegeben, so ergibt sich keine Lösung, wenn sich die Kugeloberflächen nicht schneiden - was bei realen Aufgaben aber immer der Fall ist.

Die Realisierung dieses Prinzip hat beim GPS zwei prinzipielle Schwierigkeiten:

• die Entfernung kann nicht direkt gemessen werden.
• die Satelliten bewegen sich (mit ca. 3,9 km/s), wodurch sich der Ort der Kugelmittelpunkte im Laufe der Zeit schnell verändert.

Zur Behebung der ersten Schwierigkeit benutzt man die Laufzeit des Signals, d.h. um wieviel später des Signal beim Empfänger ankommt - und rechnet in erster Näherung damit, dass sich das Signal mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit bewegt.

Als Beispiel für die Art der Entfernungsbestimmung ist die Entfernungsbestimmung beim Gewitter bekannt: Wenn man einen Blitz sieht (die Laufzeit des Blitzes ist zu vernachlässigen), wird bestimmt, wie lange es dauert, bis der Donner zu hören ist. Aus dieser Laufzeit des Donners wird mit Hilfe der Schallgeschwindigkeit die Entfernung bestimmt. Zu welcher Uhrzeit Blitz und Donner dem Empfänger bekannt werden, ist dabei unerheblich.

Diese einfache Laufzeitbestimmung analog der Differenz zwischen Blitz und Donner ist beim GPS etwas komplizierter, da dem Empfänger zunächst fehlt, wann das empfangene Signal ausgesandt wurde. Da Sender und Empfänger der auszuwertenden Informationen beim GPS-System nicht miteinander in Wechselwirkung treten oder kommunizieren können, handelt es sich um eine unidirektionale Entfernungsmessung.

Beim GPS ist diese Entfernungsmessung so gelöst, dass das empfangene Signal seinen Sendezeitpunkt mitbringt - und zwar in Form der GPS-Systemzeit bei der Sendung.

Wenn der Empfänger die GPS-Systemzeit kennt, kann er die Laufzeit als die Differenz zwischen Sendeuhrzeit und Empfangsuhrzeit bestimmen. In der Regel kennt der Empfänger aber nicht seine Empfangszeit in der GPS-Systemzeit. Deshalb ist der Empfangszeitpunkt in der GPS-Systemzeit eine weitere Unbekannte zur Ortsbestimmung.

Da deshalb vier Unbekannte zu bestimmen sind, werden auch vier Gleichungen zur Bestimmung der vier Unbekannten (drei Ortskoordinaten und der Empfangszeitpunkt in der GPS-Systemzeit) benötigt. Diese vierte Gleichung erfordert die Hinzunahme der Entfernung zu einem vierten Satelliten.

Zur Erklärung, warum das möglich ist: Wird eine falsche Empfangszeit benutzt, so sind die Entfernungen zu den Satelliten auch falsch. Nimmt man von den vier falschen Entfernungen nur drei, lässt sich damit ein möglicher (falscher!) Ort des Empfängers bestimmen. Sogar die Wahl des Empfangszeitpunktes ist aber schon eingeschränkt - denn nur für bestimmte Entfernungsbereiche kann das System der drei Gleichungen gelöst werden: sind die Entfernungen zu falsch, schneiden sich nicht alle drei Kugeln. Außerdem sind die falschen Empfängerorte unterschiedlich - je nachdem, welche der drei Entfernungen aus den vier (falschen) Entfernungen gewählt wurden. Nur beim richtigen Empfangszeitpunkt sind alle Empfängerorte gleich und damit richtig. Deshalb muss das System der vier Gleichungen gelöst werden.

Die Kenntnis des Sendezeitpunktes ist auch noch aus einem weiteren Grund wichtig: Weil sich die Satelliten bewegen, muss der Sendeort zum Sendezeitpunkt bekannt sein. Der Satellit kann in dem kurzem Sendeaugenblick seine Koordinaten nicht übertragen. Deshalb wird zur Ortsbestimmung die Bahngleichung als Zeitfunktion benutzt. Die Konstanten, die die Bahngleichung enthält, werden mit dem Signal übertragen.

Zur Ortsbestimmung wurde in den vorherstehenden Text die Vakuumlichtgeschwindigkeit benutzt. Zur genauen Ortsbestimmung muss berücksichtigt werden, dass auf dem Weg zwischen Satelliten und Empfänger kein Vakuum herrscht. Im Nichtvakuum ist die Signalgeschwindigkeit geringer. Die Entfernung Satellit - Empfänger wird deshalb bei Benutzung der Vakuumlichtgeschwindigkeit zu groß berechnet. Wird trotzdem die Vakuumlichtgeschwindigkeit benutzt, muss die tatsächliche Laufzeit um die zusätzliche Ausbreitungszeit korrigiert werden. Da die Verzögerung hauptsächlich in der Ionosphäre erfolgt, nennt man das Ionosphärenkorrektur.

Zur Technik der Ortsbestimmung gehört auch die Berücksichtigung von Störungen - vermeidbare und unvermeidbare.

Damit ergeben sich folgende einzelne Abschnitte zur Beschreibung der technischen Seite des GPS:

Inhaltsverzeichnis 1 Beschreibung des GPS-Signals 2 Modulation des GPS-Signals auf den Träger 3 Bestimmung der Sendezeitpunkte 4 Bestimmung der Satellitenorte zum Sendezeitpunkt 5 Orts- und Zeitbestimmung des Empfängers 6 Ionosphärenkorrektur 7 Berücksichtigung unvermeidbarer Störungen 8 Berücksichtigung vermeidbarer Störungen 9 Die idealisierten GPS-Grundgleichungen

[Bearbeiten] Beschreibung des GPS-Signals

Wie vorstehend beschrieben, muss jeder Satellit seine Bahndaten (Ephemeriden) und seinen Sendezeitpunkt seinem Sendesignal mitgeben. Diese Mitteilung erfolgt mit den C/A-Daten. Außerdem muss es dem Empfänger möglich sein, zu bestimmen, von welchem Satelliten das empfangene Signal stammt - obwohl alle Satelliten die gleiche Sendefrequenz benutzen.

Zur Erfüllung all dieser Anforderungen ist das GPS-Signal entwickelt. Zeitrelevant sind immer die Zeitpunkte des Beginn eines Signalteiles, wobei verschiedene Signalteile unterschiedliche Dauer haben - aber alle Signalteile sind gleichzeitig vorhanden.

Bezugszeit aller Signale ist Sonntag 0 Uhr. In den übertragenen Nachrichten ist auch die Nummer der Woche enthalten - aber die ist für die Ortsbestimmung nicht relevant.

Die nächste Signaleinheit ist der Subframe. Ein Subframe hat eine zeitliche Länge von 6 s und trägt zu Beginn eine Nachricht, wie oft 6 s seit Sonntag 0 Uhr am Sendebeginn des nächsten Subframe vergangen sind.

Die nächst kleinere Einheit ist das Word. Ein Subframe besteht aus 10 Worten. Diese kleinere Einheit Word besteht aus 30 Nachrichtenbits. 24 Bits tragen die Nachrichten direkt, am Schluss jedes Words sind sechs Paritybits vorhanden, um den fehlerfreien Empfang zu kontrollieren. Die einzelnen Wörter tragen keine Information über ihre Sendezeit, die Sendezeit des Wordanfangs ergibt sich durch Abzählen ihrer Stellung im Subframe. Ohne Abzählen wäre die Sendezeit des Wordanfangs um 0,6 s mehrdeutig.

Jedes Nachrichtenbit dauert 0,02 s (= 20 ms) und enthält natürlich auch keine weitere Information. Die genaue Zeitlage seines Beginns ergibt sich durch Abzählen innerhalb des Wortes. Ohne Abzählen wäre die Sendezeit des Beginns jedes Nachrichtenbits um 20 ms mehrdeutig.

Jedes Nachrichtenbit ist unterteilt in 20 Codeblöcke. Diese 20 Codeblöcke mit einer Dauer von 1 ms sind identisch und bestehen aus einer Unterbitfolge von je 1023 Unterbits. Zur Unterscheidung von den Nachrichtenbits werden diese Unterbits als Chips bezeichnet. Da jeder Codeblock 1 ms dauert und auch keine Nachricht tragen kann, muss seine Zeit wieder durch Abzählen bestimmt werden, innerhalb seines Bits, bzw. Words bzw. Subframes. Ohne Abzählen wäre die Sendezeit des Beginns jedes Codeblocks um 1 ms mehrdeutig.

Eine Folge von 1023 Chips kann auf 2¹⁰²³ (ca. 8,99 * 10³⁰⁷) Arten gebildet werden. Damit trotz der vielen Möglichkeiten die gewählte Folge für jeden Satelliten einzigartig ist, wird eine Folge aus den Gold-Codes [1] benutzt. Gold-Codes haben eine Länge von 2ⁿ - 1 Bit. n ist dabei eine Ganzzahl, die bei GPS zu 10 gewählt wurde.

Im Empfänger wird für jeden empfangenen Satelliten eine identische Gold-Code-Folge erzeugt. Zunächst haben die empfangene und die im Empfänger selbst erzeugte Code-Folge keine zeitliche Beziehung. Um diese zeitliche Beziehung herzustellen, werden beide Folgen miteinander multipliziert und die Multiplikationsergebnisse addiert. Diese Prozedur wird als Kreuzkorrelation bezeichnet. Wenn der zeitliche Unterschied variiert wird, ändert sich die Summe. Die Summe wird maximal, wenn die Folgen zeitlich übereinstimmen. Die Code-Folgen wurden beim GPS so gewählt, dass gesichert ist, dass nur bei der richtigen Code-Folge und bei der richtigen Zeitverschiebung das Maximum auftritt (Einzigartigkeit). Die im Empfänger erzeugte Code-Folge kann mit einem Zeitfehler < 1 ns an die empfangene Code-Folge, die vom Satelliten gesendet wurde, angepasst werden.

Durch das Abzählen in den Signaleinheiten und die Lage der momentanen Zeit im Codeblock ist der genaue Sendezeitpunkt bekannt.

Da jeder Codeblock gleichzeitig auch Träger der Nachrichtenbits sein soll, müssen sich die Codeblöcke unterscheiden, je nachdem, ob sie eine 0 oder 1 übertragen. Das geschieht dadurch, dass der Codeblock aus Einsen (mit dazwischen liegenden Nullen) oder aus Nullen (mit dazwischen liegenden Einsen) besteht. Mit dem Unterschied Einsen oder Nullen wird übertragen, ob der Codeblock das Nachrichtenbit 0 oder 1 überträgt. Dieses Vorgehen ist möglich, weil es für die Gold-Folge unerheblich ist, ob die Reihenfolge aus Einsen (mit dazwischen liegenden Nullen) oder umgekehrt besteht.

[Bearbeiten] Modulation des GPS-Signals auf den Träger

Das Signal hat die zwei Werte 0 und 1. So kann das Signal nicht direkt übertragen werden. Zur Übertragung wird eine Trägerfrequenz gesendet, deren Phase je nach Signalwert um 180° geändert wird. Bei einer 0 wird die Trägerfrequenz direkt, bei einer 1 die um 180° phasenverschobene Trägerfrequenz gesendet.

[Bearbeiten] Bestimmung der Sendezeitpunkte

Wie schon erwähnt, erzeugt der Empfänger für jeden Satelliten eine eigene Codefolge und verschiebt diese Codefolgen so, dass jede Codefolge maximal mit dem dazugehörigen Satelliten übereinstimmt. Damit ist der Sendezeitpunkt jedes Satellitensignals bekannt.

Bild: Die Verhältnisse am Empfänger beim Empfang der GPS-Satelliten. Im Bild sind von den gleichzeitig empfangenen Satellitensignalen nur die Signale von zwei Satelliten dargestellt (rot und grün). Ein Bit der GPS-Nachricht ist 20 Codeblöcke lang (von denen jeder 1023 Bit lang ist). Dargestellt ist das nur mit fünf Codeblöcken. Zu welcher Zeit der Empfänger die Auswertung vornimmt (magenta), ist nicht von Bedeutung. Welche Zeit an der blauen Zeitrichtung steht (Empfängerzeit), ist auch gleich. Für die Auswertung muss nur die Zeit des Beginns eines Codeblocks im Satelliten bekannt sein, und der Empfänger muss nur die Zeit zwischen Auswertezeitpunkt und Beginn eines Codeblocks messen. Die Sendezeit des Codeblocks wird durch Auswertung der Satellitennachricht bestimmt.

Die Bestimmung der Lage eines Codeblocks war schon beschrieben. Nach der Bestimmung der Lage des Empfangszeitpunkts innerhalb eines Codeblocks muss nun die Lage des Codeblocks zu Sonntag 0 Uhr bestimmt werden.

Dazu muss der Empfänger von der Einheit Codeblock rückwärts immer die größere Einheit bestimmen, um die Lage des Codeblocks zu Sonntag 0 Uhr bestimmen zu können:

• Zuerst wird bestimmt, bei welchen aufeinanderfolgenden Codeblöcken die Reihenfolge zwischen Einsen (mit dazwischen liegenden Nullen) und Nullen (mit dazwischen liegenden Einsen) wechselt. Dieser Wechsel ist der Anfang eines Nachrichtenbits. Damit ist der Abstand zu Sonntag 0 Uhr mit einer Unsicherheit von Vielfachen von 20 ms bestimmt.

Anmerkung: Ein Wechsel muss nicht nach spätestens 20 ms erfolgen, da es mehrere aufeinanderfolgende Nullen oder Einsen geben kann, sodass nicht alle 20 ms ein solcher Wechsel erfolgt. Aber in einer Dauer von 0,6 s (Dauer der Wordlänge) sind wegen der Paritätsbits mit Sicherheit mehrere Bitwechsel.

Nachdem die Bitgrenze erkannt ist, können die Bits empfangen und gespeichert werden. In dieser Bitfolge ist nun die Lage der Subframes zu bestimmen, von der jeder 300 bit lang ist.

• Danach wird die Lage eines Subframe identifiziert. Dazu braucht der Empfänger die doppelte Subframelänge, also mindestens 600 empfangene Bits, die er in 12 s empfängt.

Aus der gespeicherten Bitfolge nimmt der Empfänger einen Block von 600 Bits und sucht in diesem Block nach der Bitfolge 10001011. Diese Bitfolge ist im ersten Word jedes Subframe enthalten. Dieses erste Word wird als TLM-Word (=Telemetry-Word) bezeichnet. Die gesuchte Bitfolge, die im TLM-Word enthalten ist, wird als Preamble bezeichnet. Mit der Identifizierung dieser Bitfolge ist der Beginn jedes Subframe und jedes Wortes bekannt, da alle Wörter jeweils 30 bit lang sind. Da allerdings die Bitfolge 10001011 auch in der übrigen Nachricht auftreten kann, müssen zur Überprüfung, ob es wirklich der Beginn des TLM-Words ist, noch zwei Prüfungen erfolgen. Erstens: wenn es sich bei der gefundenen Bitfolge tatsächlich um die Preamble handelt, sind die 6 Paritybits am Ende jedes Words richtig, und zweitens muss alle 300 Bit (6 s) ein neuer Subframe kommen, der immer mit einem TLM-Word beginnt. Wenn die Prüfung erfolgreich ist, ist damit der Beginn jedes Subframes in der Empfängerzeit bekannt. Die Sendezeit jedes Framebeginns im Satelliten ist noch unsicher in Vielfachen von 6 s.

Anmerkung: Wenn der Empfänger eine ggf. falsche Identifizierung feststellt, wird in dem 600-Bit-Block nach einer weiteren 10001011-Folge gesucht und überprüft, ob es sich nun um die Preamble handelt.

Zur Identifizierung wie oft 6 s seit Sonntag 0 Uhr vergangen sind, wird das dem TLM-Word folgende HOW-Word (Hand over Word) ausgewertet. Die ersten 17 Bits des HOW geben die Zeit des Beginns des nachfolgenden Subframes als ganzzahlige Zählzahl von 6 sec seit Sonntag 0 Uhr an. Damit ist in der Empfängerzeit immer bekannt, wann jede Aussendung in der GPS-Zeit erfolgt, da die eben beschriebene Prozedur bei jedem empfangenen Satelliten erfolgt.

Damit ist in der empfängereigenen Zeit bekannt zu welchem Zeitpunkt das gerade (eben zur Empfängerzeit) empfangene Signal ausgesandt wurde.

[Bearbeiten] Bestimmung der Satellitenorte zum Sendezeitpunkt

In der Satellitennachricht sind die Bahnparameter jedes Satelliten enthalten. Mit den Bahnparametern und der Sendezeit kann für jede Sendezeit der Satellitenort berechnet werden.

[Bearbeiten] Orts- und Zeitbestimmung des Empfängers

Mit den jetzt bekannten Sendezeitpunkten und Sendeorten der empfangenen Signale zu einem bestimmten Zeitpunkt wird der Empfängerort bestimmt. Die Uhrzeit des Empfangszeitpunkts muss weder in der GPS-Systemzeit noch in der Empfängerzeit bekannt sein. Wenn die Empfängeruhr gestellt werden soll, wird dem Empfang die Empfängeruhrzeit t0* zugeordnet.

Dem benutzten Gleichungssystem reichen diese Daten aus, um die Empfängerkoordinaten und den Empfangszeitpunkt in der GPS-Systemzeit zu bestimmen. Die Lösung des Gleichungssystems wird im Abschnitt Die idealisierten GPS-Grundgleichungen behandelt.

Nach Lösung der GPS-Grundgleichungen hat der Empfänger seine Koordinaten (genauer die Koordinaten seiner Empfangsantenne) und den Empfangszeitpunkt t₀ in der GPS-Systemzeit. Damit kann der Empfänger prinzipiell seine Empfängeruhr mit der Differenz auf die GPS-Systemzeit stellen (synchronisieren), aber das ist nicht notwendig. Notwendig ist es nur, wenn der GPS-Empfänger als Zeitnormal dienen soll. Da die GPS-Systemzeit nicht unbedingt genau mit der UTC-Zeit übereinstimmt, enthalten die Satellitennachrichten für diesen Zweck auch noch die Differenz zwischen UTC und GPS.

[Bearbeiten] Ionosphärenkorrektur

[Bearbeiten] Berücksichtigung unvermeidbarer Störungen

Die Zeit könnte theoretisch noch genauer bestimmt werden durch Auszählen der Bits in den Codeblöcken. Beim Empfangssignal geht das nicht, weil den einzelnen Chips der empfangenen Codefolge ein starkes Rauschen überlagert ist. Ursache ist die geringe Sendeleistung der Satelliten und die notwendige große Empfängerbandbreite.

Die Sendeleistung der GPS-Satelliten ist wegen der begrenzten Möglichkeiten der Energieversorgung ähnlich wie bei Fernsehsatelliten nur gering. Der Empfänger muss wegen der schnellen Folge der Zeichen (ca. alle μs) eine große Bandbreite haben. Deshalb hat das Empfangsignal einen so hohen Rauschanteil, dass die gesuchten Signale z.T. im Rauschen untergehen.

Die Korrelation erfolgt deshalb in der Regel so, dass das verrauschte Signal mit der empfängereigenen Codefolge multipliziert wird. Die erforderliche Summation erfolgt mit dem multiplizierten Signal. Das ist ein Gleichsignal und deshalb kann es über eine längere Zeit summiert werden. Durch diese lange Zeit mittelt sich das Rauschen - und es bleibt nur ein kleiner Rest. Dadurch hebt sich das korrelierte Signal aus dem Rauschen heraus.

[Bearbeiten] Berücksichtigung vermeidbarer Störungen

[Bearbeiten] Die idealisierten GPS-Grundgleichungen

Der GPS-Empfänger befindet sich an einem Ort mit den Koordinaten und empfängt die Signale der Satelliten zur GPS-Systemzeit t₀.

Die Idealisierung bezieht sich darauf, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit als konstant angenommen ist und die Ausbreitungsrichtung nicht gekrümmt wird.

Der Empfänger kann immer alle Satelliten gleichzeitig empfangen, da die Satelliten ununterbrochen senden. Bei Mehrkanalempfängern wird das auch so durchgeführt, bei Einkanalempfängern werden die Satelliten nacheinander empfangen, dann sind diese Zeitunterschiede beim Empfang entsprechend zur Empfangszeit zu addieren oder beim Sendezeitpunkt zu subtrahieren.

Für die Berechnung des Empfangsortes werden die Empfangsdaten von mindestens 4 Satelliten benötigt. Bei mehr als 4 empfangenen Satelliten ändert sich am Rechengang wenig, allerdings sind die Gleichungen dann überbestimmt, da mehr Gleichungen als Unbekannte vorhanden sind. Gleichungssysteme mit mehr Gleichungen als Unbekannte werden in der Ausgleichsrechnung behandelt.

Die im Weiteren vorausgesetzten 4 verfügbaren Satelliten senden ihre Signale zur Systemzeit t_n an den Orten aus. Dabei geht n von 1 bis 4. Das Signal breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit c aus. Durch Gleichsetzung der Entfernungen zwischen den Satelliten und dem Empfänger in kartesichen Koordinaten und der Entfernung aus der Laufzeit, d.h. der Zeitdifferenz zwischen Sendung und Empfang multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit ergeben sich die Grundgleichungen. Um keine Wurzeln zu benutzen, werden die Gleichungen in Quadratform geschrieben:

Dieses Gleichungssystem ist zu lösen. Die Lösung liefert den Empfangszeitpunkt t₀ und die 3 Koordinaten x₀, y₀ und z₀.

Anmerkung 1: In der Literatur wird das Gleichungssystem oft mit einem Iterationsverfahren gelöst und dabei das Iterationsverfahren physikalisch interpretiert. Für t_i − t₀ wird dazu verwendet Δt_i = t_i − t₀. Die Iteration des Gleichungssystem erfolgt dann mit unterschiedlichen Startwerten. Entweder wird ein ungefährer Ort für den Empfänger angenommen und damit im ersten Iterationsschritt die Laufzeiten Δt_i für diesen Startort berechnet. Mit diesen Δt_i werden die Empfängerkoordinaten verbessertert. Mit diesem verbesserten Ort werden genauere Laufzeiten bestimmt und mit diesen verbesserten Laufzeiten wieder verbesserte Koordinaten. Das zweite Iterationsverfahren nimmt als Startwert für die Laufzeiten einheitlich ca. 70 ms an. Im weiteren Berechnungsverlauf unterscheiden sich beide Iterationsverfahren nicht mehr. In der Regel ist nach 3 bis 4 Iterationen die Lösung ausreichend genau.

Anmerkung 2: Dieses Iterationsverfahren ist nicht notwendig, da, wie im folgenden gezeigt wird, auch eine geschlossene Lösung möglich ist.

Ausmultipliziert ergeben die Gleichungen (1) bis (4):

Nun wird die 4. Gleichung von den ersten 3 subtrahiert. Dadurch fallen alle quadratischen Unbekannten weg:

Umgeordnet wird daraus:

Durch die Reduktion auf 3 Gleichungen für immer noch 4 Unbekannte ist dieses Gleichungssystem zunächst unterbestimmt. Es lässt sich daher interpretieren als funktionale Abhängigkeit der gesuchten Koordinaten von einer Variablen t₀. Da es sich um ein lineares Gleichungssystem handelt, ist auch diese Abhängigkeit linear, d. h. sie hat die Form

mit entsprechenden Konstanten x₀₀ , x_0t usw. Setzt man diese Ausdrücke in die 3 Gleichungen ein, und eliminiert damit die gesuchten Koordinaten, so enthalten sie außer der Variablen t₀ nur noch konstante Größen. Diese 3 Gleichungen müssen daher für die konstanten Terme und die Vorfaktoren von t₀ separat gelten. Man erhält damit die beiden Gleichungssysteme

Es handelt sich um 2 lineare Gleichungssysteme mit der gleichen Koeffizientenmatrix. Ihre Lösungen werden nun in eine der Ausgangsgleichungen eingesetzt. Damit wird nach der Reduktion auf 3 Gleichungen wieder eine vierte davon unabhängige hinzugenommen, und damit die vorübergehende Unterbestimmheit behoben. Man erhält z. B. durch Einsetzen in die vierte Ausgangsgleichung

Die Terme werden ausmultipliziert und nach Potenzen von t₀ geordnet:

Mit den Lösungen:

Bei realistischen Ausgangsdaten ergeben sich stets zwei reelle Lösungen. Eine davon scheidet als unrealistisch aus, entweder weil sie vor den Sendezeitpunkten der Satelliten liegt oder zu Positionen führt, die oberhalb der Satellitenbahnen liegen. Damit sind alle Werte bekannt, um die Koordinaten anzugeben.

Die Winkel der Verbindungslinien zwischen dem zu vermessenden Punkt und den Referenzpunkten muss möglichst groß sein. Sind die Winkel zu klein, ist eine exakte Positionsbestimmung nicht möglich.