Grad (Polynom)

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Ein Monom ist ein Produkt von Potenzen gewisser Variablen. Der Grad eines Monoms ist die Summe der Exponenten dieser Potenzen. Der Grad oder Totalgrad eines Polynoms ist das Maximum der Grade der Monome, aus denen das Polynom besteht.

[Bearbeiten] Definition

Sei $R$ ein kommutativer Ring, $n > 0$ eine natürliche Zahl und $R[ X_1, \dots, X_n ]$ der Polynomring in den Variablen $X_1, \dots, X_n$ . Ist

$0 \neq m := X_1^{e_1} X_2^{e_2} \cdots X_n^{e_n} \in R[ X_1, \dots, X_n ]$

ein Monom mit $e_1, \dots, e_n \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}$ , so ist der Grad von $m$ definitiert als

$\deg( m ) := e_1 + \ldots + e_n$ .

Sei nun

$0 \neq f = a_1 m_1 + \ldots + a_r m_r \in R[ X_1, \dots, X_n ]$

ein Polynom mit $r \in \mathbb{N}$ , $a_1, \dots, a_r \in R$ und Monomen $m_1, \dots, m_r$ . Dann ist der Grad oder Totalgrad von $f$ definitiert als

$\deg( f ) := \max_{j = 1, \dots, r} \deg( m_j )$ .

Es gibt verschiedene Konventionen zur Definition des Grades von $0$ . In der Algebra ist es üblich, $\deg( 0 ) := -\infty$ zu setzen. Dagegen wird in den Bereichen der Mathematik, die sich mit der Lösung von algebraischen Problemen mit Hilfe von Computern befassen, häufig die Definition $deg(0): = - 1$ bevorzugt.

Bemerkung: Da Monome nur aus endlich vielen Faktoren bestehen, lässt sich die Definition des Grads eines Monoms und somit auch die Definition des Grads eines Polynoms direkt auf Polynomringe in beliebig vielen Variablen erweitern.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Seien $f, g \in R[ X_1, \dots, X_n ]$ Polynome über $R$ . Dann gilt

$\deg( fg ) \leq \deg( f ) \deg( g )$ und
$\deg( f + g ) \leq \max( \deg( f ), \deg( g ) )$ .

Für den Fall $\deg( f ) \neq \deg( g )$ erhält man sogar $deg(f + g) = max(deg(f),deg(g))$ .

Ist $R$ ein Integritätsring, so gilt zusätztlich

deg(f g) = deg(f) + deg(g)

für alle $f, g \in R[ X_i \; | \; i \in I ]$ .

[Bearbeiten] Beispiele

Betrachte Polynome in $\mathbb{Z}[ X, Y, Z ]$ (siehe ganze Zahlen). Es gilt

$deg(X 5) = 5$ ,
$deg(X 2 Y 3 Z 4) = 2 + 3 + 4 = 9$ ,
$deg(X 7 Z 2 + 3 X 3 Y 3 - X Y 4 Z + 5 Y Z) = deg(X 7 Z 2) = 9$ und
$deg(3 X 4 Y 4 - X 2 Y 3 Z 3 + 3 Y 4 Z) = deg(X 4 Y 4) = deg(X 2 Y 3 Z 3) = 8$ .